Берівський простір

Берівський простір — вид топологічних просторів, названий на честь французького математика Рене-Луї Бера.

Нехай $(X,\tau )$ — топологічний простір. Тоді $X$ називається берівським простором якщо перетин зліченної кількості відкритих щільних множин буде щільною підмножиною $X$.

Приклади

• Простір дійсних чисел $ℝ$ і загалом кожен евклідів простір ${ℝ}^n$ є простором Бера.
• Кожен дискретний простір є берівським простором.
• Довільний повний метричний простір і локально компактний гаусдорфів простір є просторами Бера.
• Множина Кантора є берівським простором.

Властивості

Нехай $(X,\tau )$ — топологічний простір. Наступні твердження є рівносильними:

• $X$ є берівським простором,
• жодна відкрита непуста підмножина $X$ не є множиною першої категорії,
• Множина внутрішніх точок зліченної суми замкнутих ніде не щільних множин є пустою,
• для кожних замкнутих множин $F_1,F_2,F_3,\dots \subseteq X$, якщо $\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{F}_i\right)\ne \mathrm{\varnothing }$, то $\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}(F_i)\ne \mathrm{\varnothing }$ для деякого $i$.

Див. також

• Множина першої категорії
• Ніде не щільна множина