Ніде не щільна множина

В топології множина $A$ топологічного простору $(X,\tau )$ називається ніде не щільною тоді і тільки тоді, коли множина внутрішніх точок її замикання є порожньою:

$\mathrm{int}\mathrm{cl}A=\mathrm{\varnothing }$.

Інакше кажучи множина не є щільною в жодному околі простору $X$.

Лема

Множина $A\subseteq X$ є ніде не щільною в $X$ тоді і тільки тоді, коли в кожній непустій відкритій множині $U$ можна знайти непусту відкриту множину $V$, що не перетинається з $A$ (тобто $V\subseteq U\setminus A$).

Властивості

• Сім'я $\mathrm{N}\mathrm{W}\mathrm{D}(X)$ всіх ніде не щільних множин простору $X$ утворюють ідеал підмножин $X$, тобто

якщо $A,B\in \mathrm{N}\mathrm{W}\mathrm{D}(X)$, то $A\cup B\in \mathrm{N}\mathrm{W}\mathrm{D}(X)$,

якщо $A\in \mathrm{N}\mathrm{W}\mathrm{D}(X)$ і $B\subseteq A$, то $B\in \mathrm{N}\mathrm{W}\mathrm{D}(X)$,

$X\notin \mathrm{N}\mathrm{W}\mathrm{D}(X)$.

• Якщо $A\subseteq Y\subseteq X$ і $A$ є ніде не щільною в $Y$ ( $A\in \mathrm{N}\mathrm{W}\mathrm{D}(Y)$, де топологія в $Y$ успадкована від $X$), тоді $A\in \mathrm{N}\mathrm{W}\mathrm{D}(X)$.
• Нехай $A\subseteq Y\subseteq X$ і $Y$ щільною підмножиною в $X$. Тоді $A\in \mathrm{N}\mathrm{W}\mathrm{D}(X)$ тоді і тільки тоді, коли $A\in \mathrm{N}\mathrm{W}\mathrm{D}(Y)$.
• Множина $A$ є ніде не замкнутою тоді і тільки тоді, коли її замикання є ніде не щільною множиною. Таким чином кожна ніде не щільна множина міститься в деякій замкнутій ніде не щільній множині.
• Замкнута ніде не щільна множина є границею відкритої множини.

Див. також

• Множина першої категорії
• Щільна множина
• Щільність множини

Література

• Келли Дж. Л. Общая топология — М.: Наука, 1968