Монотонна послідовність

Матеріал з testwiki
Версія від 09:56, 3 лютого 2025, створена imported>Олюсь
(різн.) ← Попередня версія | Поточна версія (різн.) | Новіша версія → (різн.)
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Монотонно спадною (зростаючою, неспадною, незростаючою) називають послідовність в якій кожен член xn є меншим (більшим, не меншим, не більшим) за член послідовності xn−1.

Визначення

Нехай є множина X, на якій введено відношення порядку. Послідовність {xn} елементів множини X називається неспадною, якщо кожен елемент цієї послідовності не перевищує наступного за ним.

{xn} — неспадна ⇔∀n∈ℕ:xn⩽xn+1

Послідовність {xn} елементів множини X називається незростаючою, якщо кожен наступний елемент цієї послідовності не перевищує попереднього.

{xn} — незростаюча ⇔∀n∈ℕ:xn⩾xn+1

Послідовність {xn} елементів множини X називається зростаючою , якщо кожен наступний елемент цієї послідовності перевищує попередній.

{xn} — зростаюча ⇔∀n∈ℕ:xn<xn+1

Послідовність {xn} елементів множини X називається спадною, якщо кожен елемент цієї послідовності перевищує наступний за ним.

{xn} — спадною ⇔∀n∈ℕ:xn>xn+1

Послідовність називається монотонною, якщо вона є неспадною або незростаючою.

Послідовність називається строго монотонною, якщо вона є зростаючою або спадною.

Очевидно, що строго монотонна послідовність є монотонною.

Іноді використовується варіант термінології, в якому термін «зростаюча послідовність» розглядається як синонім терміну «неспадна послідовність», а термін «спадна послідовність» - як синонім терміну «незростаюча послідовність». У такому випадку зростаючі і спадні послідовності з вищенаведеного визначення називаються «строго зростаючими» і «строго спадними», відповідно.

Проміжки монотонності

Може виявитися, що вищевказані умови виконуються не для всіх номерів n∈ℕ, а лише для номерів із деякого діапазону.

I={n∈ℕ∣N−⩽n<N+}

Тут допускається звернення правої межі N+ у нескінченність. У цьому випадку послідовність називається монотонною на проміжку I, а сам діапазон I є проміжком монотонності послідовності.

Приклади

  • Послідовність натуральних чисел.
    • ∀n∈ℕ:xn=n.
    • Початкові відрізки:(1,2,3,4,5,6,7,8,⋯).
    • Зростаюча послідовність.
    • Складається з натуральних чисел.
    • Обмежена знизу, зверху не обмежена.
  • Послідовність Фібоначчі
    • xn={1,n=1∨n=2xn−1+xn−2,n⩾3
    • Початкові відрізки: (1,1,2,3,5,8,13,21,⋯).
    • Не спадна послідовність.
    • Складається з натуральних чисел.
    • Обмежена знизу, зверху не обмежена.
  • Геометрична прогресія з основою 1/2.
    • ∀n∈ℕ:xn=12n−1.
    • Початкові відрізки: (1,1/2,1/4,1/8,1/16,⋯).
    • Зростаюча послідовність.
    • Складається з раціональних чисел.
    • Обмежена з обох сторін.
  • Послідовність, що сходиться до числа e.
  • Послідовність раціональних чисел виду xn=(n−5)2 не є монотонною. Тим не менш, вона (строго) спадає на відрізку {1,2,3,4} і (строго) зростає на проміжку {n∈ℕ∣n⩾5}.

Властивості

  • Обмеженість.
    • Будь-яка неспадна послідовність обмежена знизу.
    • Будь-яка незростаюча послідовність обмежена зверху.
    • Будь-яка монотонна послідовність обмежена принаймні з одного боку.
  • Монотонна послідовність сходиться тоді і тільки тоді, коли вона обмежена з обох сторін. (Теорема Вейєрштрасса про обмежені монотонних послідовностей)
    • Збіжна неспадна послідовність обмежена зверху своєю межею.
    • Збіжна незростаюча послідовність обмежена знизу своєю межею.

Джерела


Шаблон:Math-stub

Отримано з https://uk.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Монотонна_послідовність&oldid=3921