Дотичний вектор

Існують дві основні модифікації: дотичний вектор в точці p підмноговиду і його узагальнення дотичний вектор в точці p гладкого многовиду.

Сукупність усіх дотичних векторів в точці p утворить векторний простір, який називається дотичним простором в точці p. Сукупність усіх дотичних векторів в усіх точках многовиду утворить векторне розшарування, яке називається дотичним розшаруванням.

Дотичний вектор до підмноговиду

Дотичний вектор в точці p гладкого підмноговиду $M$ евклідового простору — вектор швидкості в точці p деякої кривої в $M$.

Інакше кажучи, дотичний вектор в точці p підмноговиду, локально заданого параметрично:

$r:{ℝ}^m\to {ℝ}^n$ С $p=r(0)$

є довільна лінійна комбінація частинних похідних $\frac{\partial r}{\partial x_i}(0)$.

Зауваження

• Для цього визначення дотичного вектора достатньо, щоб підмноговид був класу гладкості $C^1$.
• Згідно з теоремою Уітні про вкладення, довільний гладкий n-вимірний многовид допускає вкладення в ${ℝ}^{2n}$. За цим, не порушуючи строгість, можна використовувати дане визначення для будь-якого гладкого многовиду. Певна річ при цьому доведеться доводити, незалежність визначення від вкладення.

Абстрактні гладкі многовиди

Дотичний вектор як клас еквівалентності шляхів

Поняття дотичного вектора до многовиду в точці узагальнює поняття дотичного вектора до гладкого шляху в просторі ${ℝ}^n$. Нехай в ${ℝ}^n$ задано гладкий шлях $𝐟:[0,1]\to {ℝ}^n$:

$𝐟(t)=f_1(t){𝐞}_1+f_2(t){𝐞}_2+\dots +f_n(t){𝐞}_n$

Тоді існує єдиний прямолінійний і рівномірний шлях \ mathbf {l} (t), який дотикається до нього в момент часу t₀:

$𝐥(t)=𝐟(t_0)+(t-t_0)(\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(t_0){𝐞}_1+\frac{\partial f_2}{\partial x_2}(t_0){𝐞}_2+\dots +\frac{\partial f_n}{\partial x_n}(t_0){𝐞}_n)$

Дотик двох шляхів означає, що різниця $𝐟(t)$ — ${𝐟}^{\prime }(t)=o(t-t_0)$; відношення дотичності шляхів в точці є відношенням еквівалентності. Дотичний вектор в точці x₀ можна визначити як клас еквівалентності всіх гладких шляхів, що проходять через точку x₀ в один і той же момент часу, і дотикаються один з одним у цій точці.

Дотичний вектор як диференціювання в точці

Нехай $M$ — гладкий многовид. Розглянемо простір операторів X, що зіставляють кожній гладкій функції $f:M\to ℝ$ число $Xf$ і мають такі властивості:

• Адитивність: $X(f+h)=Xf+Xh,$
• Правило Лейбніца: $X(fh)=(Xf)\cdot h(p)+f(p)\cdot (Xh).$

множина всіх таких операторів в точці p має природну структуру лінійного простору, а саме:

$(X+Y)f=Xf+Yf;$

$(k\cdot X)f=k\cdot (Xf).$

Це простір назвемо дотичним до многовиду $M$ в точці p простором, а його елементи — дотичними векторами.

Див. також

• Гладкий многовид
• Дотичний простір

Джерела

• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А.Т Современная геометрия. Методы и приложения — 2е. — М.: Наука, 1986. — 760 с
• Шаблон:Зорич.Математичний аналіз.ч1
• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.