Алгоритм Борувки

Алгоритм Борувки — це алгоритм пошуку мінімального кістякового дерева в графі.

Історія

Вперше опубліковано 1926 року Отакаром Борувкою як метод пошуку оптимальної електричної мережі в Моравії. Алгоритм кілька разів було перевідкрито, зокрема Флореком, Перкалєм та Солліном. Останній був єдиним західним ученим з цього переліку, тому алгоритм часто називають алгоритмом Солліна, особливо в літературі з паралельних обчислень.

Алгоритм

Робота алгоритму складається з декількох ітерацій, кожна з яких полягає в послідовному додаванні ребер до кістякового лісу графу, доки ліс не перетвориться на дерево, (тобто, ліс, що складається з однієї компоненти зв'язності).

У псевдокоді, алгоритм можна записати так:

1. Нехай спочатку T — порожня множина ребер (являє собою ліс, до якого кожна вершина входить як окреме дерево).
2. Поки T не є деревом (що еквівалентно умові: кількість ребер у T менше, ніж V — 1, де V — кількість вершин у графі):
   • Для кожної компоненти зв'язності (тобто, дерева в кістяковому лісі) у підграфі з ребрами T, знайдемо найдешевше ребро, що пов'язує цю компоненту з будь-якою іншою компонентою зв'язності. Вважаємо, що вага ребер різна, або якось додатково впорядкована так, що завжди можна знайти єдине ребро з мінімальною вагою.
   • Додамо знайдені ребра до множини T.
3. Отримана множина ребер T є мінімальним кістяковим деревом початкового графу.

Приклад коду:

   Graph Boruvka(Graph G)
      while T.size < n - 1                                   
           init()                                            // для кожної компоненти зв'язності вага мінімального ребра = Inf
           findComp(T)                                       // розбиваємо граф T на компоненти зв'язності звичайним dfs-ом
           for uv \in E
               if u.comp != v.comp
                   if minEdge[u.comp].w < uv.w
                       minEdge[u.comp] = uv
                   if minEdge[v.comp].w < uv.w
                       minEdge[v.comp] = uv
           for k \in Component                                 // Component — множина компонент зв'язності в T
                   T.addEdge(minEdge[k])                     // додаємо ребро, якщо його не було в T
      return T;

Складність алгоритму

Під час кожної ітерації (за винятком, можливо, останньої) кількість дерев у кістяковому лісі зменшується вдвічі, тому алгоритм зробить не більше, ніж $O(\log V)$ ітерацій. Кожна ітерація може бути реалізована зі складністю $O(E)$, тому загальний час роботи алгоритми становить $O(E\log V)$ (V та E — відповідно кількість вершин та ребер у графі).

Для деяких видів графів, зокрема, планарних, час може бути скорочено до $O(E)$. Існує також рандомізований алгоритм побудови мінімального кістякового дерева, заснований на алгоритмі Борувки, що працює в середньому за лінійний час.

Див. також

• Алгоритм Крускала
• Алгоритм Прима