Рівняння Пелля

Шаблон:Також Рівняння Пелля — діофантове рівняння вигляду:

$x^2-n{y}^2=1,$

де $n$ — додатне ціле число, що не є точним квадратом цілого числа. Рівняння Пелля є класом діофантових рівнянь другого степеня.

Доведено, що при кожному такому значенні $n$ рівняння має задану нескінченну послідовність розв'язків. Одним із застосувань теорії рівняння Пелля є наближення ірраціонального числа $\sqrt{n}$ раціональними з якомога меншою похибкою.

Розв'язки

Рівняння Пелля для довільного n має пару тривіальних розв'язків $(\pm 1,0).$

У випадку коли n не є точним квадратом існує нескінченна кількість розв'язків.

Якщо $\frac{p_i}{q_i}$ — наближені дроби розкладу $\sqrt{n}$ у ланцюговий дріб з періодом k, то додатні розв'язки рівняння Пелля мають вигляд:

$x=p_{km-1},y=q_{km-1}$

де m — будь-яке натуральне число таке, що km є парним.

Всі додатні розв'язки рівняння Пелля можна одержати з формули:

$x_k+y_k\sqrt{n}=(x_1+y_1\sqrt{n}{)}^k.$

де k — будь-яке ціле, а (х₁, у₁) — розв'язок з найменшими додатними значеннями невідомих.

Еквівалентно розв'язки можна знайти із рекурентних співвідношень:

$x_{k+1}=x_1{x}_k+n{y}_1{y}_k,$

$y_{k+1}=x_1{y}_k+y_1{x}_k.$

Зв'язок з алгебраїчною теорією чисел

Пара (x, у) є розв'язком рівняння Пелля тоді і тільки тоді, коли норма числа $x+y\sqrt{n}$ у розширенні $\mathbb{Q}(\sqrt{n})$ поля $\mathbb{Q}$ рівна одиниці:

$N(x+y\sqrt{n})=(x+y\sqrt{n})(x-y\sqrt{n})=x^2-n{y}^2.$

Зокрема, рішенню відповідає оборотний елемент кільця $Z[\sqrt{n}]$. Тому, зважаючи на мультиплікативність норми, розв'язки можна множити і ділити: розв'язкам $(x_1,y_1)$ і $(x_2,y_2)$ можна поставити у відповідність розв'язки

$(x_1{x}_2+n{y}_1{y}_2,x_1{y}_2+y_1{x}_2),(x_1{x}_2-n{y}_1{y}_2,-x_1{y}_2+y_1{x}_2).$

Приклад

Для рівняння $x^2-2y^2=1,$ найменшим додатним розв'язком буде пара чисел $(3,2)$. Всі додатні розв'язки відповідно можна одержати за допомогою формули:

$x_k+y_k\sqrt{2}=(3+2\sqrt{2}{)}^k.$

Якщо $(x,y)$ — розв'язки, то розв'язками також будуть числа $(3x+4y,2x+3y),$ які можна визначити як $(3,2)\cdot (x,y)$ згідно з уведеним вище добутком.

Дійсно:

$(3x+4y{)}^2-2(2x+3y{)}^2=(9x^2+24xy+16y^2)-2(4x^2+12xy+9y^2)=x^2-2y^2$

Література

• Бугаенко В. О. Уравнения Пелля. — Москва: МЦНМО, 2001. — ISBN 5-900916-96-0
• Barbeau, Edward J. (2003), Pell's Equation, Problem Books in Mathematics, Springer-Verlag, MR1949691, ISBN 0387955291 .