Відображальна функція Мироненка

Відображальна функція — функція, що зв'язує минулий стан системи з її майбутнім станом у симетричний момент часу. Поняття відображальної функції запроваджене Володимиром Івановичем Мироненком.

Дефініція

Нехай $\phi (t;t_0,x)$ є загальний розв'язок у формі Коші системи диференціальних рівнянь $\dot{x}=X(t,x),$ розв'язки якої однозначно визначаються своїми початковими даними. Відображальна функція цієї системи визначається формулою $F(t,x)=\phi (-t;t,x).$

Застосування

Для $2\omega$-періодичної по змінній $t$ системи диференціальних рівнянь з відображальною функцією $F(t,x)$ відображення $\mathrm{\Pi }(x)$ за період $[-\omega ;\omega ]$ (відображення Пуанкаре) визначається за формулою $\mathrm{\Pi }(x)=F(-\omega ,x).$ Тому знання відображальної функції дозволяє знаходити початкові дані $(\omega ,x_0)$ для $2\omega$-періодичних розв'язків $\phi (t;-\omega ,x_0)$ розглянутої системи й досліджувати ці розв'язки на усталеність за Ляпуновим. Відображальна функція $F(t,x)$ системи $\dot{x}=X(t,x)$ задовольняє так званому основному співвідношенню

$F_t+F_{x}X+X(-t,F)=0,$ $F(0,x)=x.$

За допомогою цього співвідношення встановлюється, що для багатьох неінтегрувальних в квадратурах систем диференціальних рівнянь відображення $\mathrm{\Pi }(x)$ за період $[-\omega ;\omega ]$ може бути знайдене навіть через елементарні функції. У цьому відображальна функція може бути зіставлена з інтегруючим множником.

Відображальна функція використовується при дослідженні питань існування й усталеності періодичних розв'язків крайових задач для систем диференціальних рівнянь.

Література

• Мироненко В. И. Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений Шаблон:Webarchive. — Минск, Университетское, 1986. — 76 с.
• Мироненко В. И. Отражающая функция и исследование многомерных дифференциальных систем. — Гомель: Мин. образов. РБ, ГГУ им. Ф. Скорины, 2004. — 196 с.

Посилання

• Сайт про відображальну функцію (англ., рос.) Шаблон:Webarchive
• How to construct equivalent differential systems Шаблон:Webarchive