Тотожність кол-пут

У фінансовій математиці кол-пут-тотожність — формула, що задає співвідношення ціни кол-опціону і ціни пут-опціону (для опціонів з однаковими параметрами, ціною виконання, волатильністю, базовим активом та ін.). Для того щоб вивести кол-пут-тотожність, потрібно накласти умову, що опціони погашаються тільки коли закінчується їх термін дії (тобто розглядати європейські опціони).

Виведення

Припущення

Як і будь-яка тотожність, кол-пут-тотожність також базується на деяких припущеннях. Ці припущення стосуються ринку і по суті вимагають досить ідеального ринкового середовища. Маємо три припущення:

(i) відсоткові стаки сталі і незмінні в часі як для позичальника так і для того хто позичає,
(ii) дивіденди на акції відомі і певні (за такої умови можна без обмеження загальності вважати, що дивіденди взагалі відсутні),
(iii) базовий актив (акція в даному випадку) є високоліквідним і немає ніяких торговильних бар'єрів.

Міркування

Ми розглянемо опціон на акцію без дивідендів. Нехай $𝒪$ базовий актив (акція). Нехай $T\in {ℝ}^{+}$ термін до погашення кол- і пут-опціонів на акцію $𝒪$, а $K\in ℝ$ їх ціна виконання (Страйк), $S,C,P:[0,T]\to ℝ$ ціни на базову акцію $𝒪$, кол-опціон і пут-опціон відповідно. Тепер розглянемо два портфоліо:

${\mathrm{\Pi }}^{(1)}$: 1 пут-опціон + 1 акція $𝒪$. Вартість цього портфоліо при погашенні дорівнює ${\mathrm{\Pi }}_T=\max \{K-S_T,0\}+S_T=\max \{K,S_T\}$.

${\mathrm{\Pi }}^{(2)}$: 1 кол-опціон + $K$ облігацій. Вартість цього портфоліо при погашенні дорівнює ${\mathrm{\Pi }}_T=\max \{S_T-K,0\}+K=\max \{S_T,K\}$.

Отже, вартість обидвох портфоліо при погашенні однакова. Тепер, оскільки ринок завжди запобігає арбітражу (без-ризиковому прибутку) вартість цих портфоліо повинна бути однаковою в довільний момент часу до виконання. Інакше, якщо вартості потфоліо відрізняються деякий агент на ринку може купити дешевше портфоліо і продати дорожче, оскільки при погашенні вартості обидвох рівні, то така стратегія без-ризикова і до того ж приносить прибуток (різниця цін між двома портфоліо). Тому для довільного моменту часу $t\in [0,T)$ маємо ${\mathrm{\Pi }}_t^{(2)}={\mathrm{\Pi }}_t^{(1)}$. Тобто,

$C(t)+K\cdot B(t;T)=P(t)+S(t)(1)$

Тут $B(t;T)$ — вартість облігації, що має бути погашений в час $T$. Ці міркування показують як можна отримати кол-пут-тотожність в інших ситуаціях.

Кол-пут-тотожність для американських опціонів

Для американських опціонів, коли опціон може бути виконаний у будь-який момент часу до дозрівання, ми маємо підкорегувати вартість облігації $B(t,T)$ в рівнянні (1). Кол-пут-тотожність справедлива тільки для європейських опціонів або для опціонів американського типу якщо їх не виконують завчасно.

$C+\mathbf{\text{PV}}(K)=P+S_0$

Див. також

• Опціон