Теорема Пікара — Лінделефа

Шаблон:Диференціальні рівняння Теорема Пікара — Лінделефа — математична теорема про існування і єдиність розв'язку задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку.

Твердження

Нехай маємо звичайне диференціальне рівняння:

$y^{\prime }(t)=f(t,y(t)),y(t_0)=y_0.$

Нехай функція у правій частині $f:\mathrm{\Pi }\to ℝ$ визначена у деякому прямокутнику $\mathrm{\Pi }:=\{(t,y)\in {ℝ}^2:|t-t_0|⩽a,|y-y_0|⩽b\}$ є неперервною по першому аргументу і задовольняє умову Ліпшіца щодо другого аргументу, тобто існує додатне число L, що для будь-яких точок (t, y^*) і (t, y^**) з прямокутника $\mathrm{\Pi }$ виконується умова:

$|f(t,y^{*})-f(t,y^{**})|⩽L|y^{*}-y^{**}|.$

Тоді на відрізку $t\in [t_0-ϵ,t_0+ϵ],$ де $ϵ:=\min (a,\frac{b}{M}),M:=\underset{(t,y)\in \mathrm{\Pi }}{\max }|f(t,y)|$ задача Коші має єдиний розв'язок.

Література

• Шаблон:Самойленко.Перестюк.Парасюк.Диференціальні рівняння
• Шаблон:Арнольд.ODE