Атлас (математика)

Атлас — поняття диференціальної геометрії, що дозволяють ввести гладку структуру на многовиді .

Визначення

Нехай $K$ — числове поле (наприклад $ℝ$ або $ℂ$ ), $X$ — топологічний простір.

U

X

f

U

у відкриту множину в

K^{n}

Якщо області визначення двох карт $(U_{1}, f_{1})$ і $(U_{2}, f_{2})$ перетинаються ( $U_{1} \cap U_{2} \neq \emptyset$ ), то між множинами $f_{1}^{- 1} (U_{2})$ і $f_{2}^{- 1} (U_{1})$ є взаємно обернені відображення (гомоморфізми), що називаються відображеннями склеюваннями :
$\begin{matrix} f_{12} = f_{1} \circ f_{2}^{- 1} |_{f_{2} (U_{1} \cap U_{2})} & : f_{2} (U_{1} \cap U_{2}) \to f_{1} (U_{1} \cap U_{2}) \\ f_{21} = f_{2} \circ f_{1}^{- 1} |_{f_{1} (U_{1} \cap U_{2})} & : f_{1} (U_{1} \cap U_{2}) \to f_{2} (U_{1} \cap U_{2}) \end{matrix}$

Атлас — це множина узгоджених карт ${(U_{α}, f_{α})}$ , $α \in 𝒜$ , така, що ${U_{α}}$ утворює покриття простору $X$ . Тут $𝒜$ — деяка множина індексів. При цьому атлас називається гладким (класу $C^{k}$ ) або аналітичним, якщо функції заміни координат $f_{α_{1} α_{2}}$ для всіх карт гладкі (класу $C^{k}$ ) або аналітичні.

Два гладкі (аналітичні) атласи називаються узгодженими, якщо їх об'єднання також є гладким (аналітичним) атласом.