Електромагнітний потенціал

Електромагнітний 4-потенціал — це контраваріантний 4-вектор, часовою компонентою якого є скалярний потенціал $\phi$, а просторовою — векторний потенціал $𝐀$ (всі формули на цій сторінці дані у системі СГС). Таким чином,

$A^{\alpha }=(\phi ,𝐀)$.

Введення компонент 4-потенціалу і отримання рівнянь на них

Рівняння Максвелла

$(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁)$

можна тотожньо задовольнити, якщо ввести векторний потенціал $𝐀$ як

$𝐁=[\mathrm{\nabla }\times 𝐀]$.

Підставивши цей вираз для $𝐁$ у рівняння для ротора напруженості електричного поля, можна отримати

$𝐁=[\mathrm{\nabla }\times 𝐀]\Rightarrow [\mathrm{\nabla }\times 𝐄]+\frac{1}{c}\frac{\partial 𝐁}{\partial t}=[\mathrm{\nabla }\times (𝐄+\frac{1}{c}\frac{\partial 𝐀}{\partial t})]=0\Rightarrow 𝐄=-\mathrm{\nabla }\phi -\frac{1}{c}\frac{\partial 𝐀}{\partial t}(.1)$,

де введений скалярний потенціал $\phi$. Тепер можна переписати вираз для сили, що діє на заряд, що рухається, у електромагнітному полі, за допомогою виразів, отриманих для потенціалів:

$𝐅=q𝐄+\frac{q}{c}[𝐯\times 𝐁]=-q\mathrm{\nabla }\phi -\frac{q}{c}\frac{\partial 𝐀}{\partial t}+\frac{q}{c}[𝐯\times [\mathrm{\nabla }\times 𝐀]]$.

Використовуючи, знову ж таки, векторний потенціал і $(.1)$, можна переписати також рівняння для ротора індукції магнітного поля і для дивергенції напруженості електричного поля:

$[\mathrm{\nabla }\times 𝐁]=[\mathrm{\nabla }\times [\mathrm{\nabla }\times 𝐀]]=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)-\mathrm{\Delta }𝐀=\frac{4\pi }{c}𝐣+\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}(-\mathrm{\nabla }\phi -\frac{1}{c}\frac{\partial 𝐀}{\partial t})\Rightarrow$

$\Rightarrow (\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-\mathrm{\Delta })𝐀+\mathrm{\nabla }(\frac{1}{c}\frac{\partial \phi }{\partial t}+(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀))=◻𝐀+\mathrm{\nabla }(\frac{1}{c}\frac{\partial \phi }{\partial t}+(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀))=\frac{4\pi }{c}𝐣(.2)$,

$(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄)=-\mathrm{\Delta }\phi -\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)=(\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-\mathrm{\Delta })\phi -\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}(\frac{1}{c}\frac{\partial \phi }{\partial t}+(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀))=◻\phi -\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}(\frac{1}{c}\frac{\partial \phi }{\partial t}+(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀))=4\pi \rho (.3)$.

Якщо задовольнити умову

$\frac{1}{c}\frac{\partial \phi }{\partial t}+(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)=0$

(умова калібрування Лоренца), то вирази набудуть більш простого вигляду:

$◻𝐀=4\pi 𝐣,◻\phi =4\pi \rho (.4)$. Шаблон:Hider Такі рівняння називаються рівняннями д'Аламбера.

Компоненти потенціалу як єдиний 4-вектор

Ідентичність двох рівнянь з $(.4)$ дозволяє припустити, що і в лівій, і в правій частині знаходяться компоненти двох 4-векторів: $A^{\alpha }=(\phi ,𝐀),{𝐣}^{\alpha }=(c\rho ,𝐣)$. Тоді рівняння $(.4)$ можуть бути записані як одне:

$◻A^{\alpha }=4\pi j^{\alpha }$,

причому перетворення Лоренца для компонент можуть бути записані як

${\mathit{\phi }}^{\prime }=\gamma (\phi -\frac{(𝐮\cdot 𝐀)}{c}),{𝐀}^{\prime }=𝐀+\mathrm{\Gamma }\frac{𝐮}{c^2}(𝐀\cdot 𝐮)-\frac{\gamma }{c}𝐮\mathit{\phi }$.

Для доведення цього достатньо показати, що векторний і скалярний потенціали перетворюються як компоненти 4-вектора. Шаблон:Hider

Розв'язок рівнянь д'Аламбера для компонент потенціалу

Отримані рівняння д'Аламбера можна розв'язати із наступних міркувань.

Загальний розв'язок рівнянь Пуассона для $𝐀,\phi$ дається інтегралами

$𝐀=\int \frac{𝐣(𝐫)d^3𝐫}{|𝐱-𝐫|},\phi =\int \frac{\rho (𝐫)d^3𝐫}{|𝐱-𝐫|}$.

У неоднорідному нестаціонарному випадку густина заряду і струму увесь час змінюється, причому інформація про це досягає спостерігача лише за час $t=\frac{|𝐱-𝐫|}{c}$. Оскільки, окрім того, у рівнянні д'Аламбера присутня похідна по часу, то природно, що розв'язок цього рівняння для скалярного потенціалу і для кожної компоненти векторного потенціалу залежить не тільки від $𝐫$, а й від $t=\tau -\frac{|𝐱-𝐫|}{c}$, що виражає час запізнення: $\rho =\rho (𝐫,t-\frac{|𝐱-𝐫|}{c})$. Тоді можна допустити, що розв'язком рівняння д'Аламбера є той же інтеграл Пуассона, проте тепер густина є функцією і від часу. Наприклад, для $\rho$:

$\phi ={\phi }_0+\int \frac{\rho (𝐫,\tau -\frac{|𝐱-𝐫|}{c})d^3𝐫}{|𝐱-𝐫|}$,

де ${\phi }_0$ — функція, що задовільняє хвильовому рівнянню. Шаблон:Hider

Див. також

• Векторний потенціал електромагнітного поля
• Потенціал Ліенара — Віхерта
• Перетворення Лоренца для полів
• Квантова електродинаміка
• Електромагнетизм