Аксіома регулярності

Шаблон:Проблеми Шаблон:UniboxАксіома регулярності (аксіома фундування) — одна з аксіом теорії множин Цермело — Френкеля (ZF) (з 1930). Спочатку була сформульована фон Нейманом для теорії множин фон Неймана — Бернайса — Геделя (NBG) (в 1925).

В будь-якій непорожній множині А є елемент B, що перетин А та B є порожньою множиною:

$\mathrm{\forall }A(\mathrm{\exists }B(B\in A)\to \mathrm{\exists }B(B\in A\wedge \mathrm{\neg }\mathrm{\exists }C(C\in A\wedge C\in B))).$

Якщо ввести операцію перетину множин $\cap$, то формулу можна спростити:

$\mathrm{\forall }A(A\ne \varnothing \to \mathrm{\exists }B(B\in A\wedge B\cap A=\varnothing )).$

Наслідком цієї аксіоми є твердження, що не існує множини, яка є елементом самої себе.

Аксіома регулярності найменш корисна аксіома ZF, оскільки всі результати можуть бути отримані і без неї, хоча вона інтенсивно використовується результатів про цілковий порядок та ординали.

Джерела

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Куратовский.Мостовский.Теория множеств