Збіжність за Чезаро

Збіжність за Чезаро — узагальнення поняття збіжності числових і функціональних рядів, введене італійським математиком Ернесто Чезаро. Фактично існує ціле сімейство визначень, що залежать від параметра k. Спершу збіжність була визначена Чезаро для цілих додатних значень параметра k і застосована до множення рядів. Пізніше поняття збіжності за Чезаро було поширено на довільні значення k у тому числі і на комплексні. Методи знаходження суми за Чезаро мають численні застосування: при множенні рядів, в теорії рядів Фур'є і інших питаннях.

Визначення

Ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ називається збіжним за Чезаро порядку k або (C, k)-збіжним із сумою S, якщо:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{A_n^k}{E_n^k}=S$

де $A_n,E_n$ визначаються як коефіцієнти розкладу:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_n^{\alpha }{x}^n=\frac{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n}{(1-x{)}^{1+\alpha }},$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{E}_n^{\alpha }{x}^n=(1-x{)}^{-1-k},$

Властивості

При k = 0 збіжність за Чезаро є звичайною збіжністю ряду, при k = 1 ряд є збіжним із сумою S, якщо $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{s}_k=S,$ де $s_k=a_1+\cdots +a_k$ — часткові суми ряду .

Методи (C, k) знаходження суми ряду є цілком регулярними при $k\ge 0$ і не є регулярними при $k<0$. Сила методу зростає із збільшенням k: якщо ряд є збіжним для k, то для k^' > k > -1 він теж буде збіжним із тією ж сумою.

При k <-1 ця властивість не зберігається.

Якщо ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ є (C, k)-збіжним, то $a_n=o(n^k)$.

Збіжність за Чезаро (C, k) рівносильна і сумісна зі збіжністю Гельдера (H, k) і Рісса (R, n, k) (k >0). Шаблон:Джерело?

Приклади

Ряд Гранді

Нехай a_n = (-1)ⁿ⁺¹ for n ≥ 1. Тобто, {a_n} є послідовністю

$1,-1,1,-1,\dots .$

Послідовність часткових сум {s_n} має вигляд:

$1,0,1,0,\dots ,$

і очевидно, що ряд Гранді не збігається у звичному розумінні. Натомість членами послідовності {(s₁ + ... + s_n)/n} є

$\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{2}{4},\frac{3}{5},\frac{3}{6},\frac{4}{7},\frac{4}{8},\dots ,$

і загалом

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{s_1+\cdots +s_n}{n}=1/2.$

Отже ряд ряд Гранді є збіжним за Чезаро з параметром 1 і його сума дорівнює 1/2.

Див. також

• Збіжність за Борелем
• Збіжність за Ейлером
• Збіжність за Пуассоном — Абелем

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 5 — М.: Наука, 1985
• Барон С. А., Введение в теорию суммируемости рядов, 2 изд., Таллин, 1977.
• Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т.1, М., 1965;
• Харди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951;
• Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel's Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6 .
• Шаблон:PlanetMath