Теорема Скорохода про вкладення

У математиці, зокрема в теорії ймовірностей, під Теоремою Скорохода про вкладення розуміють одну з двох або обидві теореми, які дають можливість подати сукупність випадкових величин у формі Вінерівського процесу визначеного на сукупності марківських моментів часу. Обидві теореми названі на честь українського математика Анатолія Володимировича Скорохода.

Перша теорема Скорохода про вкладення

Нехай $X$ — дійсно-значна випадкова величина з математичним сподіванням рівним 0 і скінченною дисперсією; позначимо $W$ — стандартний дійснозначний Вінерівський процес (броунівський рух). Тоді існує марківський момент часу $\tau$ (відносно природної фільтрації породженої вінерівським процесом $W$), такий що $W_{\tau }$ має закон розподілу той самий, що і в.в. $X$,

$𝔼[\tau ]=𝔼[X^2]$,

а також

$𝔼[{\tau }^2]⩽4𝔼[X^4].$

Друга теорема Скорохода про вкладення

Нехай $X_1,X_2,\dots$ — послідовність незалежних однаково-розподілених випадкових величин, з нульовим математичним сподіванням і скінченною дисперсією, і нехай

$S_n=X_1+\cdots +X_n.$

Тоді існує неспадна послідовність марківських моментів часу ${\tau }_1,{\tau }_2,\dots$ така що $W_{{\tau }_n}$ має той самий сукупний розподіл що й частинні суми $S_n$ і ${\tau }_1,{\tau }_2-{\tau }_1,{\tau }_3-{\tau }_2,\dots$ є незалежними однаково розподіленими випадковими величинами з наступною властивістю

$𝔼[{\tau }_n-{\tau }_{n-1}]=𝔼[X_1^2]$

і

$𝔼[({\tau }_n-{\tau }_{n-1}{)}^2]\le 4𝔼[X_1^4].$

Значення для фінансової математики і фінансів

Теореми Скорохода мають попереджувальний характер для моделювання фінансових даних. Конкретніше, якщо маємо деяку модель фінансових даних, що змодельована деяким процесом і далі для практичного застосування ми збираємо дані для цього процесу за деяким стохастичним принципом (наприклад трансакція за трансакцією), то як не дивно розподіл зібраних даних суттєво відрізняється від розподілу закладеного в моделі.

Див. також

• Список об'єктів, названих на честь Анатолія Скорохода

Джерела

• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко
• Шаблон:Гихман.Скороход.Введение в теорию случайных процессов
• Шаблон:Cite book (Theorems 37.6, 37.7)