Теорема Абеля (аналіз)

Теорема Абеля — результат теорії степеневих рядів, названий на честь норвезького математика Нільса Абеля.

Твердження

Нехай $f(x)=\sum _{n⩾0}{a}_n{x}^n$ — степеневий ряд з комплексними коефіцієнтами і радіусом збіжності $R$.

Якщо ряд $\sum _{n⩾0}{a}_n{R}^n$ є збіжним, тоді :

$\underset{x\to R^{-}}{\lim }f(x)=\sum _{n⩾0}{a}_n{R}^n$.

Доведення

Заміною змінних $u=x/R$, можна вважати $R=1$. Також (необхідним підбором $a_0$) можна припустити $\sum a_n=0$. Позначимо $S_n$ часткові суми ряду $\sum a_n$. Згідно з припущенням $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=0$ і потрібно довести, що $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=0$.

Розглянемо $x\in [0,1]$. Тоді (прийнявши $S_{-1}=0$) :

$\sum _{n=0}^N(S_n-S_{n-1})x^n=\sum _{n=0}^N{S}_n(x^n-x^{n+1})+S_N{x}^{N+1}.$

Звідси одержується $f(x)=(1-x){\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{S}_n{x}^n$.

Для довільного $\epsilon >0$ існує натуральне число $N_0$, що $|S_n|\le \epsilon$ для всіх $n>N_0$, тому :

$|f(x)|⩽(1-x)\left|\sum _{n=0}^{N_0}{S}_n{x}^n\right|+(1-x)\epsilon \sum _{n=N_0+1}^{\mathrm{\infty }}{x}^n=(1-x)\left|\sum _{n=0}^{N_0}{S}_n{x}^n\right|+\epsilon x^{N_0+1}.$

Права частина прямує до $\epsilon$ коли $x$ прямує до 1, зокрема вона є меншою $2\epsilon$ при прямуванні $x$ до 1.

Приклади

Приклад 1

Візьмемо

$f(x)=\sum _{n⩾1}\frac{(-1{)}^{n+1}{x}^n}{n}=\ln (1+x)$

. Оскільки ряд

$\sum _{n⩾1}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}$

збігається, маємо:

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\ln 2=\sum _{n⩾1}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}$

Приклад 2

Візьмемо

$g(x)=\sum _{n⩾0}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{2n+1}=\arctan (x)$

. Ряд

$\sum _{n⩾0}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}$

збігається, тому :

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }g(x)=\arctan (1)=\frac{\pi }{4}=\sum _{n⩾0}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}$

Див. також

• Список об'єктів, названих на честь Нільса Генріка Абеля

Посилання

• Шаблон:Е-ВУЕ
• Шаблон:PlanetMath (a more general look at Abelian theorems of this type)
• Шаблон:MathWorld