Циклічний підклас

Циклічні підкласи — підмножини нерозкладного періодичного класу ланцюга Маркова такі, що ланцюг проходить їх один за одним по черзі.

Теорема

Нехай дано ланцюг Маркова $\{X_n{\}}_{n\ge 0}$ з дискретним часом, дискретним простором станів $S$ і матрицею перехідних ймовірностей $P$. Нехай $C\subset S$ — нерозкладний клас станів періодом $d$. тоді існує розбиття множини $C$: $C_0,\dots ,C_{d-1}\subset C$, тобто

$C_k\cap C_l=\mathrm{\varnothing },k=l,\bigcup _{k=0}^{d-1}{C}_k=C$

таке, що

$\mathbb{P}(X_{n+1}\in C_{k+1modd}\mid X_n\in C_k)=1,k=0,\dots ,d-1,n\in \mathbb{N}$.

Зауваження

Таким чином усередині будь-якого нерозкладного періодичного класу ланцюг Маркова описує шлях:

$C_k\to C_{k+1}\to \cdots \to C_{d-1}\to C_0\to \cdots \to C_{k-1}\to C_k\to \cdots$,

де $k$ — індекс початкової підмножини.

Визначення

Побудовані таким чином підмножини $C_k,k=1,\dots ,d-1$ називаються циклічними підкласами.

Ланцюг всередині циклічного підкласу

Очевидно маємо:

$\mathbb{P}(X_{n+d}\in C_k\mid X_n\in C_k)=1,k=0,\dots ,d-1,n\in \mathbb{N}$,

тобто через кожні $d$ кроків ланцюг повертається в той же циклічний підклас. Тоді для будь-якого фіксованого $k=0,\dots ,d-1$ можна побудувати новий ланцюг Маркова ${\left\{X_n^{(k)}\right\}}_{n\ge 0}$ з множиною станів $C_k$ і матрицею перехідних ймовірностей $P^d$. Цей ланцюг буде нерозкладним і аперіодичним. Таким чином, вивчення багатьох питань поведінки ланцюга Маркова зводиться до випадку аперіодичного нерозкладного ланцюга.