Стохастичне числення Іто

Числення Іто — математична теорія, що описує методи маніпулювання з випадковими процесами, такими як броунівський рух (або вінерівський процес). Названа на честь творця, японського математика Кійосі Іто. Часто застосовується в фінансовій математиці і теорії стохастичних диференціальних рівнянь. Центральним поняттям цієї теорії є інтеграл Іто

$Y_t=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{H}_{s}d{X}_s,$

де $X$ — броунівський рух або, в загальнішому формулюванні, напівмартингал. Можна показати, що шлях інтегрування для броунівського руху не можна описати стандартними техніками інтегрального числення. Зокрема, броунівський рух не є інтегрованою функцією в кожній точці шляху і має нескінченну варіацію на будь-якому часовому інтервалі. Таким чином, інтеграл Іто не може бути визначений у сенсі інтеграла Рімана — Стілтьєса. Проте, інтеграл Іто можна визначити строго, якщо помітити, що підінтегральна функція $H$ є адитивним процесом; це означає, що залежність від часу $t$ його середнього значення визначається поведінкою тільки до моменту $t$.

Позначення

$\underset{0}{\overset{t}{\int }}HdX\equiv \underset{0}{\overset{t}{\int }}{H}_{s}d{X}_s$

Інтегрування броунівського руху

$\underset{0}{\overset{t}{\int }}HdB=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{t_{i-1},t_i\in {\pi }_n}{H}_{t_{i-1}}(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}).$

Процес Іто

$X_t=X_0+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\sigma }_{s}d{B}_s+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\mu }_{s}ds.$

Семімартингали, як інтегратори

$\underset{0}{\overset{t}{\int }}HdX=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{t_{i-1},t_i\in {\pi }_n}{H}_{t_{i-1}}(X_{t_i}-X_{t_{i-1}}).$

Властивості

$J\cdot (K\cdot X)=(JK)\cdot X$

$[H\cdot X]=H^2\cdot [X]$

Інтегрування частинами

$X_t{Y}_t=X_0{Y}_0+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{X}_{s-}d{Y}_s+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{Y}_{s-}d{X}_s+[X,Y{]}_t$

Лема Іто

$df(X_t)=\sum _{i=1}^d{f}_{,i}(X_t)d{X}_t^i+\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^d{f}_{,ij}(X_t)d[X^i,X^j{]}_t.$

Мартингали-інтегратори

Квадратично інтегровні мартингали

$𝔼((H\cdot M_t{)}^2)=𝔼(\underset{0}{\overset{t}{\int }}{H}^{2}d[M]).$

Стохастична похідна

${𝔻}_{B_t}{S}_t=\frac{\mathrm{d}⟨S,B{⟩}_t}{\mathrm{d}⟨B,B{⟩}_t}=\frac{\mathrm{d}⟨S,B{⟩}_t}{\mathrm{d}t},$

${𝔻}_{B_t}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{X}_s\mathrm{d}{B}_s=X_t,$   and   $\underset{0}{\overset{t}{\int }}{𝔻}_{B_s}{S}_s\mathrm{d}{B}_s=S_t-S_0-V_t.$

Див. також

• Вінерівський процес
• інтеграл Стратоновича

Посилання

• Стохастический мир — просте введення в стохастичне диференційне рівняння

Література

• Шаблон:Cite journal
• Hagen Kleinert, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4th edition, World Scientific (Singapore), 2004, (ISBN 981-238-107-4). Пятое издание доступно в виде pdf.
• He Sheng-Wu, Wang Jia-Gang, Yan Jia-An, Semimartingale Theory and Stochastic Calculus, Science Press, CRC Press Inc., 1992 (ISBN 7-03-003066-4, 0-8493-7715-3)
• Ioannis Karatzas and Steven E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer, 1991 г. (ISBN 0-387-97655-8)
• Philip E. Protter, Stochastic Integration and Differential Equations, Springer, 2001 (ISBN 3-540-00313-4)
• Bernt K. Øksendal, Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, Springer, 2003 (ISBN 3-540-04758-1)
• Mathematical Finance Programming in TI-Basic, which implements Ito calculus for TI-calculators.