Інтегрування частинами

Шаблон:Числення Інтегрування частинами — один із способів знаходження інтеграла.

Суть методу в наступному: якщо підінтегральна функція подана у виді добутку двох неперервних і гла́дких функцій (кожна з яких може бути як елементарною функцією, так і композицією), то справедливі формули:

• для невизначеного інтеграла:

$\int udv=uv-\int vdu$

• для визначеного:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}udv=uv{|}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}vdu$

Передбачається, що знаходження інтеграла $\int vdu$ простіше, ніж $\int udv$. У іншому випадку застосування методу не виправдано.

Одержання формул

Для невизначеного інтеграла

Функції $𝑢$ і $𝑣$ гладкі, отже, можливе диференціювання:

$d(uv)=duv+udv$

Ці функції також неперервні, отже можна взяти інтеграл від обох частин рівності:

$\int d(uv)=\int duv+\int udv$

Операція інтегрування протилежна диференціюванню:

$uv=\int duv+\int udv$

Після перестановок:

$\int udv=uv-\int vdu$

Для визначеного

У цілому аналогічно випадку для невизначеного інтеграла:

$d(uv)=duv+udv$

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}d(uv)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}duv+\underset{a}{\overset{b}{\int }}udv$

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}udv=uv{|}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}vdu$

Приклади

• $\int x\cos xdx=\int xd(\sin x)=x\sin x-\int \sin xdx=x\sin x+\cos x+C$
• $\int e^{x}xdx=\int x(e^{x}dx)=\int xd{e}^x=x{e}^x-\int e^{x}dx=x{e}^x-e^x+C$

• Іноді цей метод застосовується кілька разів:

$\int x^2\sin xdx=\int x^{2}d(-\cos x)=-x^2\cos x-\int -2x\cos xdx=$

$=-x^2\cos x+\int 2xd(\sin x)=-x^2\cos x+2x\sin x-\int 2\sin xdx=-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C$

• Цей метод також використовується для знаходження інтегралів від елементарних функцій:

$\int \ln xdx=x\ln x-\int \frac{1}{x}xdx=x\ln x-x+C$

$\int \mathrm{arctg}xdx=x\mathrm{arctg}x-\int \frac{x}{1+x^2}dx=x\mathrm{arctg}x-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C$

• У деяких випадках інтегрування частинами не дає прямої відповіді:

$I_1=\int e^{\alpha x}\sin \beta xdx=$

$=\int e^{\alpha x}d(-\frac{1}{\beta }\cos \beta x)=-\frac{1}{\beta }{e}^{\alpha x}\cos \beta x+\frac{\alpha }{\beta }\int e^{\alpha x}\cos \beta xdx=-\frac{1}{\beta }{e}^{\alpha x}\cos \beta x+\frac{\alpha }{\beta }{I}_2$

$I_2=\int e^{\alpha x}\cos \beta xdx=$

$=\int e^{\alpha x}d(\frac{1}{\beta }\sin \beta x)=\frac{1}{\beta }{e}^{\alpha x}\sin \beta x-\frac{\alpha }{\beta }\int e^{\alpha x}\sin \beta xdx=\frac{1}{\beta }{e}^{\alpha x}\sin \beta x-\frac{\alpha }{\beta }{I}_1$

У такий спосіб один інтеграл виражається через інший:

$\{\begin{array}{c}{I}_1=-\frac{1}{\beta }{e}^{\alpha x}\cos \beta x+\frac{\alpha }{\beta }{I}_2\\ I_2=\frac{1}{\beta }{e}^{\alpha x}\sin \beta x-\frac{\alpha }{\beta }{I}_1\end{array}$

Вирішивши отриману систему, одержуємо:

$I_1=\frac{e^{\alpha x}}{{\alpha }^2+{\beta }^2}(\alpha \sin \beta x-\beta \cos \beta x)+C$

$I_2=\frac{e^{\alpha x}}{{\alpha }^2+{\beta }^2}(\alpha \cos \beta x+\beta \sin \beta x)+C$

Див. також

• Методи інтегрування

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Клепко ВМ