Спряжені числа

Геометричне представлення $z$ та його спряженого $\overline{z}$ на комплексній площині

Спря́женими числами (також комплексно-спря́женими числами) називаються два комплексні числа, які мають таку саму дійсну частину та протилежні за знаком уявні частини. Наприклад, спряженими є числа 3 + 4i та 3 − 4i. Число спряжене до числа $z$ позначається $\bar{z}$. У загальному випадку, спряженим до числа $z$

$z=a+ib,$

де $a$ та $b$ — дійсні числа, є

$\bar{z}=a-ib.$

Наприклад,

$\overline{(3-2i)}=3+2i$

$\bar{7}=7$

$\bar{i}=-i.$

На комплексній площині спряжені числа представлені точками, симетричними відносно дійсної осі. У полярній системі координат спряжені числа мають вигляд $r{e}^{i\varphi }$ та $r{e}^{-i\varphi }$, що безпосередньо випливає з формули Ейлера.

Спряженими числами є корені квадратного рівняння з дійсними коефіцієнтами та від'ємним дискримінантом.

Властивості

Для довільних комплексних чисел $z$ та $w$:

• $\overline{(z\pm w)}=\bar{z}\pm \bar{w}$

• $\overline{(zw)}=\bar{z}\bar{w}$

• $\bar{z}=z\iff z$ є дійсним числом

• $\overline{z^n}=\stackrel{n}{\stackrel{‾}{z}}$ для всіх цілих $n$

• $\left|\bar{z}\right|=\left|z\right|$

• ${\left|z\right|}^2=z\bar{z}=\bar{z}z$

• $\overline{\stackrel{‾}{z}}=z$, (тобто, спряження є інволюцією)

• $z^{-1}=\frac{\bar{z}}{{\left|z\right|}^2}$, якщо z не дорівнює нулю. За допомогою цієї властивості обчислюють обернене комплексного числа заданого у прямокутних координатах.

• Якщо $\varphi$ є голоморфною функцією, звуження якої на множину дійсних чисел є дійсною функцією, та визначено $\varphi (z)$, то

$\varphi (\bar{z})=\overline{\varphi (z)}.$

Зокрема:

• $\exp (\bar{z})=\overline{\exp (z)}$
• $\log (\bar{z})=\overline{\log (z)}$, якщо z не дорівнює нулю.
• Якщо $p$ — поліном з дійсними коефіцієнтами і $p(z)=0$, то також $p(\bar{z})=0$. Отже, комплексні (не дійсні) корені таких поліномів завжди утворюють комплексно-спряжені пари.

Визначення координат числа та спряження

Прямокутні та полярні координати комплексного числа можуть бути визначені за допомогою формул:

• $x=\mathrm{Re}(z)=(z+\bar{z})/2$
• $y=\mathrm{Im}(z)=(z-\bar{z})/2i$
• $\rho =\left|z\right|=\sqrt{z\cdot \bar{z}}$
• $e^{i\theta }=z/\left|z\right|=e^{i\arg z}=\sqrt{z/\bar{z}}$ (якщо z не дорівнює нулю).

Див. також

• Ермітово-спряжена матриця