Асимптотично еквівалентні системи

Визначення

Асимптотично еквівалентними системами називаються системи диференціальних рівнянь

$\frac{dx}{dt}=f(t,x)(1)$

та

$\frac{dy}{dt}=g(t,y)(2)$,

якщо між їх розв'язками $x(t)$ та $y(t)$ можна встановити взаємно однозначну відповідність таку, що

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{t\to \mathrm{\infty }}[x(t)-y(t)]=0.(3)$

Ознака асимптотичної еквівалентності

Теорема Левінсона

Нехай розв'язки системи

$\frac{dx}{dt}=Ax,(4)$

де $A$ — постійна $(n\times n)$-матриця, обмежені на $[0,\mathrm{\infty })$. Тоді система

$\frac{dy}{dt}=[A+B(t)]y$,

де $B(t)\in C[0,\mathrm{\infty })$ та $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\Vert B(t)\Vert dt<\mathrm{\infty }$ асимптотично еквівалентна системі $(4)$.

В поданій вище формулі $\Vert \cdot \Vert$ позначає норму матриці.

Див. також

• Асимптотична рівність
• Ляпунов Олексій Андрійович
• Теорема Левінсона

Джерела

1. Воскресенский Е. В. Асимптотическая эквивалентность систем дифференциальных уравнений. Шаблон:Ref-ru
2. Гробман Д. М. Топологическая и асимптотическая эквивалентность систем дифференциальных уравнений, Матем. сб., № 61 (103):1 1963, С 13-39. Шаблон:Ref-ru
3. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967. Шаблон:Ref-ru