Точкова оцінка

Шаблон:Поліпшити Точкова оцінка у математичній статистиці — це число, що обчислюється на основі вибірки, імовірно близьке оцінюваному параметру популяції.

Визначення

Нехай $X_1,\dots ,X_n,\dots$ — випадкова вибірка з розподілу, що залежить від параметра $\theta \in \mathrm{\Theta }$. Тоді статистику $\hat{\theta }(X_1,\dots ,X_n)$, що набуває значення в $\mathrm{\Theta }$, називають точковою оцінкою параметра $\theta$.

Властивості точкових оцінок

• Оцінка $\hat{\theta }=\hat{\theta }(X)$ називається незміщеною, якщо її математичне сподівання дорівнює параметру генеральної сукупності, що оцінюється:

${𝔼}_{\theta }\left[\hat{\theta }\right]=\theta ,\mathrm{\forall }\theta \in \mathrm{\Theta }$,

де ${𝔼}_{\theta }$ позначає математичне сподівання за припущення, що $\theta$ — істинне значення параметра (розподілу вибірки $X$).

• Оцінка $\hat{\theta }$ називається ефективною, якщо вона має мінімальну дисперсію серед всіх можливих незміщених точкових оцінок.
• Оцінка ${\hat{\theta }}_n={\hat{\theta }}_n(X_1,\dots ,X_n)$ називається конзистентною, якщо вона за ймовірністю зі збільшенням обсягу вибірки $n$ прямує до параметра генеральної сукупності: $\mathrm{\forall }\theta \in \mathrm{\Theta }$,

${\hat{\theta }}_n\to \theta$ за ймовірністю при $n\to \mathrm{\infty }$.

• Оцінка ${\hat{\theta }}_n$ називається строго конзистентною, якщо $\mathrm{\forall }\theta \in \mathrm{\Theta }$,

${\hat{\theta }}_n\to \theta$ майже напевне при $n\to \mathrm{\infty }$.