Вибіркове середнє

Вибіркове (емпіричне) середнє значення — характеристика положення для вибіркового розподілу.

Визначення

Нехай $x_1,x_2,\dots ,x_n$ — випадкова вибірка.

Вибірковим середнім називається середнє арифметичне елементів даної вибірки:.

$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}$.

Властивості вибіркового середнього

• Нехай $\hat{F}(x)$ — функція вибіркового розподілу. Тоді для будь-якого фіксованого $\omega \in \mathrm{\Omega }$ функція $\hat{F}(\omega ,x)$ є (невипадковою) функцією дискретного розподілу.

• Вибіркове середнє — незміщена оцінка теоретичного середнього значення: $𝔼\left[\overline{X}\right]=𝔼[X_i],i=1,\dots ,n$.

• Вибіркове середнє — строго конзистентна оцінка теоретичного середнього: $\overline{X}\to 𝔼[X_i]$ майже напевне при $n\to \mathrm{\infty }$.

• Вибіркове середнє — асимтотично нормальна оцінка. Нехай дисперсія випадкових величин $X_i$ скінченна і ненульова, тобто $\mathrm{D}[X_i]={\sigma }^2<\mathrm{\infty },{\sigma }^2=0,i=1,\dots ,n$. Тоді $\sqrt{n}(\overline{X}-𝔼[X_1])\to \mathrm{N}(0,{\sigma }^2)$ за розподілом при $n\to \mathrm{\infty }$, де $\mathrm{N}(0,{\sigma }^2)$ — нормальний розподіл з середнім $0$ і дисперсією ${\sigma }^2$.

• Вибіркове середнє з нормальної вибірки — ефективна оцінка її середнього.