Функція Міттаг-Лефлера

Функція Міттаг-Лефлера — функція Ec(z) комплексної змінної z, введена Міттаг-Лефлером в 1905 році як узагальнення показникової функції:

${\mathrm{E}}_{\alpha }(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{\mathrm{\Gamma }(\alpha k+1)}$, $\alpha \in (0,+\mathrm{\infty })$

В даній формулі $\mathrm{\Gamma }$ позначає гамма-функцію. Для вказаних значень параметра $\alpha$ функція Міттаг-Лефлера є голоморфною на всій комплексній площині. Можна також визначити узагальнені функції Міттаг-Лефлера:

${\mathrm{E}}_{\alpha ,\beta }(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{\mathrm{\Gamma }(\alpha k+\beta )}$, $\alpha ,\beta \in ℂ$.

Якщо дійсна частина $\alpha$ — додатне число то даний ряд є збіжним для всіх значень комплексного аргументу і функція є голоморфною на всій комплексній площині.

Приклади

• Показникова функція:

$E_1(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{\mathrm{\Gamma }(k+1)}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k!}=\exp (z).$

• Функція помилок:

$E_{1/2}(z)=\exp (z^2)\mathrm{erfc}(-z).$

• Гіперболічний косинус:

$E_2(z)=\cosh (\sqrt{z}).$

• Сума геометричної прогресії:

$E_0(z)=\frac{1}{1-z}.$

В даному прикладі параметр рівний нулю, тож функція не є голоморфною в точці 1.

Посилання

• Функція Міттаг-Лефлера на сайті MathWorld

Література

• Гольдберг А.А., Островский И.В., Распределение значений мероморфных функций, М., 1970.