Інтегральні тригонометричні функції

Інтегра́льні тригонометри́чні фу́нкції — спеціальні функції, визначені через інтеграл, підінтегральний вираз якого містить тригонометричні функції.

Інтегральний синус

$\mathrm{S}\mathrm{i}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\sin t}{t}dt$

$\mathrm{s}\mathrm{i}(x)=-\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin t}{t}dt=\mathrm{S}\mathrm{i}(x)-\frac{1}{2}\pi$

Інтегральний косинус

$\mathrm{C}\mathrm{i}(x)=\gamma +\ln x+\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\cos t-1}{t}dt$

$\mathrm{C}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1-\cos t}{t}dt$

$\mathrm{c}\mathrm{i}(x)=-\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos t}{t}dt$

Інтегральний гіперболічний синус

$\mathrm{S}\mathrm{h}\mathrm{i}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\sinh t}{t}dt=\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{i}(x)$

Інтегральний гіперболічний синус можна розкласти в ряд:

$\text{Shi}(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}$

Інтегральний гіперболічний косинус

$\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{i}(x)=\gamma +\ln x+\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\cosh t-1}{t}dt=\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{i}(x)$

Інтегральний гіперболічний косинус можна розкласти в ряд:

$\text{Chi}(x)=\gamma +\ln x+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n}}{2n(2n)!}$

Інтегральний гіперболічний косинус і інтегральний гіперболічний синус пов'язані співвідношенням:

$\text{Chi}(x)+\text{Shi}(x)=\text{Li}{e}^x,$

де $\text{Li}$ — інтегральна логарифмічна функція.

Див. також

• Інтегральна логарифмічна функція
• Інтегральна показникова функція

Джерела

• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 2 — М.: Мир, 1985.