Формула Іто

Лема Іто використовується в стохастичному аналізі для знаходження диференціалу від функції, аргументом якої є випадковий процес. Назву отримала на честь японського математика Кійосі Іто. Лема є аналогом правила диференціювання складеної функції в звичайному математичному аналізі. Її найкраще можна запам'ятати, використовуючи розклад функції в ряд Тейлора до другого степеня по випадковому компоненту функції. Результат широко використовується у фінансовій математиці, зокрема у формулі Блека — Шоулза для оцінки вартості кол-опціонів. Формулу іноді називають теоремою Іто — Добліна на честь Вольвганга Добліна, який також її вивів, але його записки були знайдені і оприлюднені тільки в 2000 році.

Лема Іто

Для дифузійних процесів

Найпростіше формулювання леми Іто: для дифузійного процесу

$d{X}_t={\sigma }_{t}d{B}_t+{\mu }_{t}dt$

де $d{B}_t$ — диференціал Вінерівського процесу. Виразом $(d{B}_t{)}^2$ не можна знехтувати у розкладі Тейлора, він еквівалентний $dt$, тоді як $(d{B}_t{)}^3\approx d{B}_{t}dt\approx (dt{)}^{\frac{3}{2}}$ так само як і $(dt{)}^2$ зануляється і ними можна знехтувати. Тому для двічі неперервно-диференційовної функції ƒ(t, x) (тобто для цієї функції визначені перша і друга частинні похідні) від двох дійсних параметрів t і x, використовуючи розклад Тейлора

$\begin{array}{c}df(t,x)=\frac{\partial f}{\partial t}dt+\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{1}{2}(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2}(dt{)}^2+2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t\partial x}dtdx+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(dx{)}^2)+\cdots \end{array}$

використовуючи позначення

$f^{\prime }(t,x)=\frac{\partial f}{\partial x}(t,x),f^{″}(t,x)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(t,x),\dot{f}(t,x)=\frac{\partial f}{\partial t}(t,x)$

і замінюючи $dx$ на ${\sigma }_{t}d{B}_t+{\mu }_{t}dt$, отримуємо

$\begin{array}{cc}df(t,X_t)& =\dot{f}(t,X_t)dt+f^{\prime }(t,X_t)({\mu }_{t}dt+{\sigma }_{t}d{B}_t)+\frac{1}{2}{f}^{″}(t,X_t){\sigma }_t^{2}dt=\\ & =(\dot{f}(t,X_t)+{\mu }_t{f}^{\prime }(t,X_t)+\frac{{\sigma }_t^2}{2}{f}^{″}(t,X_t))dt+f^{\prime }(t,X_t){\sigma }_{t}d{B}_t\end{array}$

Багатовимірний варіант,

$df(t,X_t)={\dot{f}}_t(t,X_t)dt+\underset{X_t}{\overset{T}{\mathrm{\nabla }}}f\cdot d{X}_t+\frac{1}{2}d{X}_t^T\cdot \underset{X_t}{\overset{2}{\mathrm{\nabla }}}f\cdot d{X}_t$

де $X_t={(X_{t,1},X_{t,2},\cdots ,X_{t,n})}^T$ — вектор дифузійних процесів, ${\dot{f}}_t(t,X)$ — частинна похідна по t, $\underset{X}{\overset{T}{\mathrm{\nabla }}}f$ — градієнт функції ƒ по X, і $\underset{X}{\overset{2}{\mathrm{\nabla }}}f$ — матриця Гессе функції ƒ по X.

Неперервні напівмартингали

Більш загально формула Іто виконується для будь-якого неперервного d-вимірного напівмартингалу X = (X¹,X²,…,X^d), і двічі неперервно-диференційовної і дійснозначної функції f в R^d.

Іноді формулу презентують з перехресною варіацією наступним чином, f(X) напівмартингал, що задовольняє формулу Іто

$df(X_t)=\sum _{i=1}^d{f}_i(X_t)d{X}_t^i+\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^d{f}_{ij}(X_t)d[X^i,X^j{]}_t.$

В цьому виразі f_i — частинна похідна функції f(x) по xⁱ, і [Xⁱ,X^j ] — квадратична варіація процесів Xⁱ і X^j.

Розривні напівмартингали

Лема Іто може бути застосована до загальних d-вимірних напівмартингалів, які можуть бути розривними. Взагалі напівмартингали — це càdlàg-процес (неперервний справа процес, що має лівосторонні границі), і тому додатковий одночлен необхідний для того щоб стрибки процесу були враховані лемою Іто.

Для довільного càdlàg-процесу Y_t, лівостороння границя в точці t позначається Y_t- і цей процес є неперервним зліва процесом. Стрибки записують як ΔY_t = Y_t - Y_t-. Тоді лема Іто стверджує: якщо X = (X¹,X²,…,X^d) — d-вимірний напівмартингал і f двічі неперервно диференційовна дійсно-значна функція на R^d тоді f(X) — напівмартингал, і

$\begin{array}{cc}f(X_t)=& f(X_0)+\sum _{i=1}^d\underset{0}{\overset{t}{\int }}{f}_i(X_{s-})d{X}_s^i+\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^d\underset{0}{\overset{t}{\int }}{f}_{i,j}(X_{s-})d[X^i,X^j{]}_s\\ & +\sum _{s\le t}(\mathrm{\Delta }f(X_s)-\sum _{i=1}^d{f}_i(X_{s-})\mathrm{\Delta }{X}_s^i-\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^d{f}_{i,j}(X_{s-})\mathrm{\Delta }{X}_s^i\mathrm{\Delta }{X}_s^j).\end{array}$

Ця формула відрізняється від випадку неперервних напівмартингалів додатковою сумою по стрибках X, що забезпечує рівність стрибка правої частини тотожності ( в час t) стрибку лівої частини Δf(X_t).

Неформальне виведення

Формальне доведення леми вимагає знаходження границі послідовності випадкових величин. Тут ми тільки дамо схему доведення леми Іто з використанням розкладу функції в ряд Тейлора і застосуванням правил стохастичного числення.

Нехай маємо процес Іто, записаний у формі

$dx=adt+bdB.$

Розкладаючи f(x, t) в ряд Тейлора в точці x і t маємо

$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial t}dt+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}d{x}^2+\cdots$

і підстановка dt + b dB замість dx дає

$df=\frac{\partial f}{\partial x}(adt+bdB)+\frac{\partial f}{\partial t}dt+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(a^{2}d{t}^2+2abdtdB+b^{2}d{B}^2)+\cdots .$

Границя при dt прямуючи до 0, dt² та dt dB прямують до нуля, але вираз dB² прямує до dt. Останній факт можна довести якщо ми покажемо, що

$d{B}^2\to E(d{B}^2),$ since $E(d{B}^2)=dt.$

Викидаючи доданки з dt² та dt dB, підставляючи dt замість dB², і зводячи доданки з dt та dB, отримуємо

$df=(a\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{1}{2}{b}^2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2})dt+b\frac{\partial f}{\partial x}dB$

що й потрібно було показати.

Формальне доведення леми набагато складніше.

Див. також

• Інтеграл Іто
• Теорема Ґірсанова
• Вінерівський процес
• Формула Фейнмана — Каца