Розширена матриця

В лінійній алгебрі, розширена матриця матриці, це матриця отримана шляхом деяких змін початкової.

Нехай маємо матриці A і B, де:

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 2& 0& 1\\ 5& 2& 2\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}4\\ 3\\ 1\end{array}\right].$

Тоді, розширена матриця (A|B) виглядає як:

$(A|B)=\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 2& 4\\ 2& 0& 1& 3\\ 5& 2& 2& 1\end{array}\right].$

Це корисно при розв'язуванні системи лінійних рівнянь; розширена матриця також може бути використана для знаходження оберненої матриці шляхом комбінування з одиничною матрицею.

Приклади

Нехай C 2×2 матриця де $C=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ -5& 0\end{array}\right].$

Для знаходження оберненої для С ми створюємо (C|I) де I це 2×2 одинична матриця. Ми приводимо частину (C|I), що відповідає C к одиничній матриці, використовуючи тільки елементарні матричні перетворення на (C|I).

$(C|I)=\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 0\\ -5& 0& 0& 1\end{array}\right]$

$(I|C^{-1})=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -\frac{1}{5}\\ 0& 1& \frac{1}{3}& \frac{1}{15}\end{array}\right]$

В лінійній алгебрі, розширена матриця використовується для представлення коефіцієнтів і вектора розв'язку для набору рівнянь:

$\begin{array}{cc}{x}_1+2x_2+3x_3& =0\\ 3x_1+4x_2+7x_3& =2\\ 6x_1+5x_2+9x_3& =11\end{array}$

розширена матриця буде скомпонована з

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 4& 7\\ 6& 5& 9\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}0\\ 2\\ 11\end{array}\right].$

$(A|B)=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 0\\ 3& 4& 7& 2\\ 6& 5& 9& 11\end{array}\right],$ або

$(A|B)=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 4\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& -2\end{array}\right].$

Див. також

• Метод Гауса — Жордана

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Marvin Marcus and Henryk Minc, Огляд теорії матриць і матричних нерівностей, Dover Publications, 1992, ISBN 0-486-67102-X. Стор. 31. Шаблон:Ref-en
• Код для відображення розширенної матриці Шаблон:Webarchive Шаблон:Ref-en