Трикутне число

Трикутне число — число кружечків, з яких можна скласти рівносторонній трикутник, так, як зображено на малюнку.

Послідовність трикутних чисел $T_n$ для n = 0, 1, 2, … починається так:

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, … (Шаблон:OEIS)

Властивості

• Формули для n-го трикутного числа:
  • $T_n=\frac{1}{2}n(n+1)$;
  • $T_n=1+2+3+\dots +(n-2)+(n-1)+n$;
  • $T_n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2})$ — біноміальний коефіцієнт.
• Сума двох послідовних трикутних чисел — квадратне число, тобто

$T_n+T_{n-1}=n^2$.

• Кожне парне досконале число є трикутним.

Узагальнення

Кожне трикутне число є фігурним.

Для будь-якого n-вимірного симплекса з ребрами довжини x відповідне фігурне число (кількість n-вимірних кульок, з яких можна скласти такий симплекс у сенсі, аналогічному до поясненого вище) дається формулою

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{x+n-1}{n})=\frac{x\cdot (x+1)\cdots (x+(n-1))}{n!}.$

Якщо довжина ребра дорівнює 2, то ця кількість кульок є також кількістю вершин. Наприклад, тетраедр з ребрами довжини 2 можна скласти з $\frac{2(2+1)(2+2)}{3!}=4$ кульок; тетраедр має 4 вершини.

Див. також

• Фігурні числа
• Квадратне число
• Трикутник Паскаля
• Піраміда Паскаля