Аліасинг

Аліасинг (Шаблон:Lang-en — накладення спектрів)  — ефект, що призводить до накладання, або нечіткості різних безперервних сигналів при їхній дискретизації.

Є однією з головних проблем при аналогово-цифровому перетворенні відео- і аудіосигналів. Неправильна дискретизація аналогового сигналу призводить до того, що високочастотні його складові накладаються на низькочастотні, в результаті чого відновлення сигналу в часі приводить до його спотворень. Для запобігання цього ефекту частота дискретизації повинна бути достатньо високою і сигнал повинен бути належним чином відфільтрований перед оцифровуванням.

Аліасинг  в комп'ютерній графіці — ефект «ступінчастості» зображення, проти якого використовуються різні алгоритми згладжування.

Два різних синусоїдальних сигнали, що не відрізняються при оцифровці: високочастотний з частотою $f>f_s/2$ (червоний) на низькочастотний $f_s-f$ (синій).

Дискретизація синусоїдних сигналів

Синусоїди — це важливий тип періодичних функцій, тому що реальні сигнали часто моделюють за допомогою сум синусоїд різних частот і різних амплітуд. Розуміння того, що аліасинг робить із окремими синусоїдами важливе для розуміння того, що відбувається з їх сумою.

Дві різні синусоїди, що відповідають тій самій множині значень.

Рисунок показує набір значень інтервал дискретизації яких — 1, і дві (з багатьох) різних синусоїд, що можуть мати такі значення. Тут частота дискретизації $f_s=1$. Наприклад, якщо інтервал це 1 секунда, частота становить 1 значення за секунду. Дев'ять циклів червоної і 1 цикл синьої синусоїди покривають проміжок у десять значень. Відповідне число циклів на значення є $f_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}}=0.9$  і $f_{\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{e}}=0.1$.  Якщо ці значення були отримані дискретизуючі функції $\cos (2\pi (0.9)x-\theta )$ і $\cos (2\pi (0.1)x-\varphi )$, то їх можна було отримати з тригонометрично тотожних функції $\cos (2\pi (-0.9)x+\theta )$ і $\cos (2\pi (-0.1)x+\varphi ),$ — це впроваджує корисне поняття від'ємної частоти.

Загалом, коли синусоїда частоти $f$ дискретизується з частотою $f_s,$ результовна кількість циклів на значення становить $f/f_s$ (відома як нормалізована частота), і вибрані значення невідрізненні від значень вибраних з іншої синусоїди (аліаса) чия нормалізована частота відрізняється від $f/f_s$ на ціле (додатне або від'ємне).  Замінюючи синусоїди від'ємних частот на тотожні ним представлення з додатними частотами, ми можемо виразити всі аліаси частоти $f$ як  $f_{\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{s}}(N)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}|f-N{f}_s|,$  для будь-якого цілого $N$ зі справжньою частотою  $f_{\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{s}}(0)=f$, і $N$ має одиниці циклів на значення. Тоді аліас з $N=1$ для $f_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}}$  це  $f_{\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{e}},$  (і навпаки).

Аліасінг має значення коли хтось намагається відновити початкову хвилю з її дискретизації. Найпоширеніші техніки для відновлення видають найменшу з частот $f_{\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{s}}(N)$. Отже, зазвичай важливо, щоб $f_{\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{s}}(0)$ була унікальним мінімумом. Необхідна і достатня умова для цього це $f_s/2>|f|,$ де $f_s/2$ це частота Найквіста системи, яку дискретизують з частотою $f_s.$  У нашому прикладі умова Найквіста виконана, якщо початковий сигнал це синя синусуїда ($f=f_{\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{e}}$).  Але, якщо $f=f_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}}=0.9,$  звичайний метод відновлення видасть синю синусоїду замість червоної.

Згинання

У цьому прикладі, $f_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}}$  і $f_{\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{e}}$ симетрично розташовані навколо частоти $f_s/2.$  І загалом, із збільшенням $f$ від 0 до $f_s/2,$  $f_{\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{s}}(1)$ зменшується з $f_s$  до $f_s/2.$  Подібним чином зі збільшенням $f$ від $f_s/2$  до $f_s,$  $f_{\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{s}}(1)$ продовжує зменшуватись від $f_s/2$ до 0.

Файл:Aliasing-folding uk.png

Чорні точки — аліаси один одному. Жирна червона лінія — це приклад амплітуди, що змінюється з частотою. Пунктирні червоні лінії — це відповідні шляхи аліасів.

Див. також

• Згладжування (графіка)
• Частота дискретизації
• Оцифровування
• Інтерполяційна формула Віттекера — Шеннона

Джерела

• Craig Marven, Gillian Ewers A simple approach to digital signal processing — Wiley, 1996—236 стор. Шаблон:Ref-en

Шаблон:Цифрові артефакти