Метод Лагранжа (теорія квадратичних форм)

Опис

Метод полягає в послідовному виділенні в квадратичній формі повних квадратів. Нехай нам дана квадратична форма:

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j}

Можливі два випадки:

хоча б один з коефіцієнтів $a_{i i}$ біля квадратів відмінний від нуля. Не порушуючи загальності, будемо вважати що $a_{11} \neq 0$ (чого можна добитись перестановкою змінних);
Всі коефіцієнти $a_{i i} = 0, i = \overline{1, n}$ (квадратична форма вироджена), але є коефіцієнт $a_{i j}, i \neq j$ , відмінний від нуля (нехай $a_{12} \neq 0$ ).

В першому випадку перетворюємо квадратичну форму таким чином:

f (x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}) = (a_{11} x_{1}^{2} + 2 a_{12} x_{1} x_{2} + . . . + 2 a_{1 n} x_{1} x_{n}) + f_{1} (x_{2}, x_{3}, . . ., x_{n}) =

= \frac{1}{a_{11}} (a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + . . . + a_{1 n} x_{n})^{2} - \frac{1}{a_{11}} (a_{12} x_{2} + . . . + a_{1 n} x_{n})^{2} + f_{1} (x_{2}, x_{3}, . . ., x_{n}) =

= \frac{1}{a_{11}} y_{1}^{2} + f_{2} (x_{2}, x_{3}, . . ., x_{n})

, де

$y_{1} = a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + . . . + a_{1 n} x_{n}$ , а через $f_{2} (x_{2}, x_{3}, . . ., x_{n})$ позначені решта доданків.

$f_{2} (x_{2}, . . ., x_{n})$ являє собою квадратичну форму від n-1 змінних $x_{2}, x_{3}, . . ., x_{n}$ .

Її перетворюють аналогічно, і так далі.

Варто зауважити, що $y_{1} = \frac{1}{2} \frac{\partial f}{\partial x_{1}}$

Інший випадок заміною змінних $x_{1} = y_{1} + y_{2}, x_{2} = y_{1} - y_{2}, x_{3} = y_{3}, . . ., x_{n} = y_{n}$ зводиться до першого.