Клас еквівалентності

Клас еквівалентності елемента $a$ множини $S$ за заданим на цій множині відношенням еквівалентності є підмножина множини $S$ , що складається з елементів еквівалентних $a$ :

[a] = {x \in S | x \sim a} .

Класи еквівалентності між елементами структур часто використовуються для отримання меншої структури, елементами якої є класи. Зв'язок кожного елемента класу поділяється принаймні з одним іншим елементом іншого класу. Клас можна вважати тотожністю одного з оригінальних елементів.

Властивості

Множина всіх класів еквівалентності множини $S$ називається фактор-множиною і є розбиттям множини $S .$

Кожен елемент Шаблон:Math з Шаблон:Math є членом класу еквівалентності Шаблон:Math. Кожні два класи еквівалентності Шаблон:Math і Шаблон:Math або дорівнюють, або не перетинаються. Таким чином, множина всіх класів еквівалентності Шаблон:Math утворює розбиття множини Шаблон:Math: кожен елемент Шаблон:Math належить одному і тільки одному класу еквівалентності.
Шаблон:Math, тоді і тільки тоді, коли Шаблон:Math і Шаблон:Math належать до одного і того ж самого розділу множини.

З властивостей відношення еквівалентності випливає, що

Шаблон:Math, тоді і тільки тоді, коли Шаблон:Math.

Іншими словами, якщо Шаблон:Math є відношення еквівалентності на множині Шаблон:Math, то ці твердження еквівалентні:

$x \sim y$
$[x] = [y]$
$[x] \cap [y] \neq \emptyset$ .

Позначення і формальне визначення

Відношення еквівалентності є бінарним відношенням, яке має три властивості:

Для кожного елемента Шаблон:Math із Шаблон:Math, Шаблон:Math (рефлексивність),
Для кожних двох елементів Шаблон:Math і Шаблон:Math з Шаблон:Math, якщо Шаблон:Math, то і Шаблон:Math (симетрія)
Для кожних трьох елементів Шаблон:Math, Шаблон:Math і Шаблон:Math з Шаблон:Math, якщо Шаблон:Math і Шаблон:Math, то Шаблон:Math (транзитивність).

Клас еквівалентності елемента Шаблон:Math позначається Шаблон:Math і може визначатися як множина.

[a] = {x \in X ∣ a \sim x}

Альтернативне позначення Шаблон:Math може бути використане для позначення класу еквівалентності елемента зокрема у відношенні Шаблон:Math. Це називається Шаблон:Math-класу еквівалентність. Множина всіх еквівалентних класів в Шаблон:Math даного відношення еквівалентності позначається як Шаблон:Math і називається фактор-множина Шаблон:Math на ~. Кожне відношення еквівалентності має канонічну проєкцію, сюр'єктивну функцію Шаблон:Math з Шаблон:Math де Шаблон:Math задано Шаблон:Math.

Приклади

Якщо Шаблон:Math є множиною всіх автомобілів, і Шаблон:Math є відношенням еквівалентності «має той же колір», то кожен клас еквівалентності складається з автомобілів однакового кольору. Наприклад, всі зелені автомобілі належать одному класу. Кількість класів Шаблон:Math дорівнює числу всіх кольорів автомобілів.

Розглянемо відношення еквівалентності на множині $ℤ$ цілих чисел: Шаблон:Math, тоді і тільки тоді, коли їх різниця Шаблон:Math парне число. Це співвідношення призводить до двох класів еквівалентності: один клас, що складається з усіх парних чисел, та другий, який складається з усіх непарних чисел. Клас парних чисел позначається, як Шаблон:Math, непарних як Шаблон:Math. Згідно з цим співвідношенням Шаблон:Math, Шаблон:Math, та Шаблон:Math належать одному класу — Шаблон:Math.

Нехай Шаблон:Math множина впорядкованих пар цілих чисел Шаблон:Math, де Шаблон:Math не дорівнює нулю, і характеризує відношення еквівалентності Шаблон:Math на Шаблон:Math. Відповідно до якого Шаблон:Math, тоді і тільки тоді, коли Шаблон:Math. Класу еквівалентності пари Шаблон:Math можна поставити у відповідність раціональне число Шаблон:Math, таким чином, це відношення еквівалентності і його класи еквівалентності можуть бути використані як формальне визначення множини раціональних чисел. Наприклад, еквівалентним парам Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math, відповідає рівність дробів $\frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{5}{15}$ .

Відношення рівності за модулем ( $a \equiv b (\mod n), a, b \in ℤ$ ) на множині цілих чисел $ℤ$ є відношенням еквівалентності. Класи еквівалентності ${\overline{a}}_{n} = {a, a \pm n, a \pm 2 n, a \pm 3 n, \dots} .$
Нехай дане число $a_{n} a_{n - 1} \cdot \cdot \cdot a_{3} a_{2} a_{1},$ де $a_{i} = 0, 1, 2, . . ., 9 .$ Тоді всяку групу цифр $a_{i + 2} a_{i + 1} a_{i}, i \equiv 1 (\mod 3)$ називають класом. Група цифр $a_{3} a_{2} a_{1}$ — перший клас (клас одиниць), $a_{6} a_{5} a_{4}$ — другий клас (клас тисяч) тощо.
Нехай $H$ є підгрупою групи $G .$ У групі $G$ діє закон еквівалентності: $x \sim y,$ якщо $x y^{- 1} \in H$ . Виникає клас суміжності групи $G$ по групі $H$ .

Факторизація відображень

Відображення

p : x \mapsto C_{x}

називається природним відображенням (або канонічної проєкцією) $X$ на фактор-множину $X / \sim$ . Нехай $X$ , $Y$ — множини, $f : X \to Y$ - відображення, тоді бінарне відношення $x R_{f} y$ визначене правилом

x R_{f} y ⟺ f (x) = f (y), x, y \in X

є відношенням еквівалентності на $X$ . При цьому відображення $f$ індукує відображення $\overline{f} : X / R_{f} \to Y$ , яке визначається правилом

\overline{f} (C_{x}) = f (x)

або, що те ж саме,

(\overline{f} \circ p) (x) = f (x)

.

При цьому виходить факторизація відображення $f$ на сюр'єктивне відображення $p$ і ін'єктивне відображення $\overline{f}$ .

Див. також

Джерела

Клас еквівалентності

Зміст

Властивості

Позначення і формальне визначення

Приклади

Факторизація відображень

Див. також

Джерела

Навігаційне меню

Клас еквівалентності

Властивості

Позначення і формальне визначення

Приклади

Факторизація відображень

Див. також

Джерела

Навігаційне меню

Пошук