Теорема Гільберта про базис

Матеріал з testwiki
Версія від 10:38, 15 січня 2023, створена imported>Zviribot (Cat-a-lot: Moving from Category:Теореми to Category:Математичні теореми за допомогою Cat-a-lot)
(різн.) ← Попередня версія | Поточна версія (різн.) | Новіша версія → (різн.)
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Теоре́ма Гі́льберта про ба́зис — одна з основних теорем теорії кілець Нетер: якщо R — кільце Нетер, то кільце многочленів R[x] також є кільцем Нетер.

Доведення

Нехай F — ідеал в R[x] (ми тут вважатимемо R комутативним, для некомутативних кілець доведення зберігається, необхідно лише вважати всі ідеали лівими), а p множина старших коефіцієнтів многочленів, його складових. Доведемо, що p — ідеал.

Справді, якщо a і b — елементи p, то a і b є старшими коефіцієнтами деяких многочленів з F — f(x)=axn+... і g(x)=bxm+.... Якщо, наприклад, m≥n, то a+b є старшим коефіцієнтом многочлена xm−nf(x)+g(x)∈F. Якщо a є старшим коефіцієнтомf(x) то ar є старшим коефіцієнтом rf(x)∈F для будь-якого елементу r. Таким чином,p — ідеал, а оскільки R — кільце Нетер, то p породжується деякими елементами a1,a2,...,an, старшими коефіцієнтами многочленів f1,f2,...,fn∈F. Нехай найбільший степінь цих многочленів рівний r. Можна вважати, що степінь кожного з цих многочленів рівний r (якщо він рівний m≤r, то можна зробити його таким помноживши на xr−m.

Аналогічно доводиться, що pk — множина старших коефіцієнтів многочленів з F, степінь яких k≤r (до цієї множини доданий 0 кільця) є ідеалом, і тому ідеалом, породженим елементами ak1,ak2,...,aknk. Нехай вони є старшими коефіцієнтами многочленів fk1,fk2,...,fknk∈F степеня k

Доведемо, що ці многочлени f1,f2,...,fn,f11,f12,...,f1n1,…,fr−1,1,fr−1,2,...,fr−1,nr−1∈F породжують ідеал F. Нехайf(x)=axs+... — який-небудь многочлен ідеалу F, за визначенням a∈p. Якщо його степінь s≥r то оскільки a по доведеному є лінійною комбінацією a=r1a1+r2a2+...+rnan старших членів многочленів f1,f2,...,fn∈F степеня r, то ми одержимо, що f(x)−r1xs−rf1+r2xs−rf2+...+rnxs−rfn буде многочленом степеня, меншого, ніж s, що також належить ідеалу F. Повторюючи при необхідності цю операцію кілька разів, можна дійти до многочлена степеня не більшого r.

Для многочлена степеня k≤r застосовується та ж процедура, але з використанням многочленів fk1,fk2,...,fknk∈F старші коефіцієнти яких породжують ідеал pk. Далі процедура повторюється, поки ми не дійдемо до нульового многочлена.

Література

Отримано з https://uk.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Теорема_Гільберта_про_базис&oldid=3077