Скінченнопороджена абелева група

У абстрактній алгебрі абелева група $(𝔾,+)$ називається скінченнопородженою, якщо існує скінченна множина $x_1,\dots ,x_s\in 𝔾$, така що $\mathrm{\forall }x\in 𝔾$ існує представлення:

$x=n_1{x}_1+n_2{x}_2+\dots +n_s{x}_s,$

де $n_1,\dots ,n_s$ — цілі числа. В такому випадку кажуть, що $x_1,\dots ,x_s$ породжує групу $𝔾$ або що $x_1,\dots ,x_s$ породжують $𝔾$.

Очевидно, кожна скінченна абелева група є скінченнопородженою. Скінченнопороджені абелеві групи мають порівняно просту структуру і можуть бути повністю класифіковані.

Приклади

• Цілі числа $(\mathbb{Z},+)$ є скінченнопородженою абелевою групою.
• Числа по модулю $({\mathbb{Z}}_n,+)$ є скінченнопородженою абелевою групою.
• Будь-який прямий добуток скінченного числа скінченнопороджених абелевих груп також є скінченнопородженою абелевою групою.

Група $(\mathbb{Q},+)$ раціональних чисел не є скінченнопородженою: якщо $x_1,\dots ,x_s\in \mathbb{Q}$, візьмемо натуральне число $w$, взаємно просте зі всіма їх знаменниками; тоді $1/w$ не може бути породжено $x_1,\dots ,x_s\in \mathbb{Q}$.

Класифікація

Теорема про класифікацію скінченнопороджених абелевих груп стверджує, що будь-яка скінченнопороджена абелева група $𝔾$ ізоморфна прямому добутку простих циклічних груп і нескінченних циклічних груп, де проста циклічна група - це така циклічна група, порядок якої є степенем простого числа. Тобто кожна така група ізоморфна групі вигляду

${\mathbb{Z}}^m\oplus {\mathbb{Z}}_{m_1}\oplus \dots \oplus {\mathbb{Z}}_{m_t},$

де $m⩾0$, і числа $m_1,\dots ,m_t$ є степенями (не обов'язково різних) простих чисел. Значення $m,m_1,\dots ,m_t$ однозначно визначені (з точністю до порядку) групою $𝔾$, зокрема $𝔾$ скінченна тоді і тільки тоді, коли $m=0$.

На підставі того факту що ${𝔾}_l$ буде ізоморфна добутку ${𝔾}_j$ і ${𝔾}_k$ тоді і тільки тоді, коли $j$ і $k$ взаємно прості і $l=jk$, ми також можемо представити будь-яку скінченнопороджену групу $𝔾$ у вигляді прямого добутку:

${\mathbb{Z}}^m\oplus {\mathbb{Z}}_{k_1}\oplus \dots \oplus {\mathbb{Z}}_{k_r},$

де $k_1$ ділить $k_2$, що ділить $k_3$ і так далі до $k_u$. І знову, числа $m$ і $k_1,\dots ,k_r$ однозначно задані групою $𝔾$.

Доведення

Існування

Позначимо n = m + u і доводитимемо другий варіант твердження. Нехай дана абелева група G із скінченним числом твірних. Група G є ізоморфною факторгрупі деякої вільної абелевої групи A_n по деякій її підгрупі V. З властивостей вільних абелевих груп випливає, що можна вибрати такий базис $x_1,\dots ,x_n$ групи A_n, що базис вільної абелевої групи V матиме вигляд $m_1{x}_1,\dots ,m_r{x}_r,$ де $m_i$ ділиться на $m_{i-1}$ для всіх $i=2,\dots ,r.$ Завдяки такому вибору базисів елемент

$x=a_1{x}_1+a_2{x}_2+\dots +a_n{x}_n$

з групи A_n тоді і тільки тоді міститиметься в підгрупі V якщо коефіцієнти $a_i$ діляться на $m_i,i=1,\dots ,r,$ а коефіцієнти $a_i,i=r+1,\dots ,n,$ рівні нулю. Дійсно, якщо коефіцієнти $a_i$ задовольняють цим умовам, то елемент x може бути записаний базис $m_1{x}_1,\dots ,m_r{x}_r,$. Навпаки, якщо

$x=b_1{m}_1{x}_1+b_2{m}_2{x}_2+\dots +b_n{m}_n{x}_n$

то, очевидно, всі зазначені умови виконуються.

У факторгрупі A_n/V елемент x_i + V має при $i⩽r$ порядок m_i, а при i > r нескінченний порядок. Циклічні підгрупи всіх цих елементів дають в сумі всю факторгрупу, причому, складають пряму суму — всякий елемент з A_n/V однозначно записується у вигляді суми елементів з циклічних підгруп x_i + V. Звичайно, якщо декілька перших з чисел m₁, m₂, ... рівні 1, то відповідні прямі доданки x₁ + V, x₂ + V{ и2 + V), ... повинні бути виключені. Зважаючи на ізоморфізм групи G з факторгрупою чинника A_n/V теорема доведена не тільки для A_n/V, але і для G.

Єдиність

Щоб довести єдиність такого, припустимо, що ми маємо другий такий розклад. Доведемо спершу, що n = n^' Припустимо, що n > n' і p — просте число, що ділить m₁. Використання початковий розклад, існує очевидний епіморфізм з G у n-вимірний векторний простір над ${𝔽}_p$; цей простір повинен породжуватися образами x'_i — базисних елементів з другого розкладу. Але це неможливо, тому що множина яку вони породжують містить щонайбільше p^n' < pⁿ елементів.

Для натурального числа m > 0 розглянемо групу mG, що складається з усіх mx де $x\in g$. Розклад для цієї групи одержиться з розкладу для G заміною x_i на mx_i і mx_i на $\frac{m_i}{GCD(m,m_i)}$, де GCD(m, m_i) — найбільший спільний дільник. Якщо m_i ділить m, то даний коефіцієнт рівний одиниці і відповідний елемент mx_i повинен бути видалений. Отже m_i однозначно визначаються властивістю, що m_i є найменше натуральне число для якого канонічне представлення mG використань щонайбільше n - i твірних.

Література

• Шаблон:Курош.Теорія груп