Антирефлексивне відношення

Антирефлексивне відношення — бінарне відношення , у якому жоден елемент не співвідноситься із собою. Іншими словами відношення R на множині X є антирефлексивним, якщо для жодного a ∈ X не виконується aRa, тобто

$\mathrm{\forall }a\in X,\mathrm{\neg }(aRa)$.

Пов'язані терміни

Поняття антирефлексивного відношення протилежне до рефлексивного - бінарне відношення, у якому кожен елемент пов'язаний із собою, тобто

$\mathrm{\forall }a\in X,aRa$

Як приклад такого відношення можна навести відношення нестрогої нерівності на множині натуральних або дійсних чисел. У матриці A(R) рефлексивного відношення на головній діагоналі завжди одиниці, а граф G(R) рефлексивного відношення містить петлі у всіх вершинах.

Відношення називають нерефлексивним, якщо в множині А існує елемент х, який не перебуває у відношенні сам із собою. Зрозуміло, що антирефлексивне відношення є нерефлексивним, але нерефлексивне не завжди є антирефлексивним. Наприклад, на множині дійсних чисел задано відношення R={(x,y), xRy ↔ y=1/x}. Як бачимо, тільки при x=y=1 має місце xRx.

Властивості рефлексивного та антирефлексивного відношення

• Об'єднання та перетин двох рефлексивних або антирефлексивних відношень також буде рефлексивним або ж антирефлексивним відношенням відповідно.
• Що стосується добутку: добуток рефлексивних відношень залишається рефлексивним відношенням, проте добуток антирефлексивних відношень уже не обов'язково буде антирефлексивним.
• Транзитивне замикання рефлексивного відношення є рефлексивним відношенням.

Приклади антирефлексивних відношень

$\mathrm{\forall }a\in X,\mathrm{\neg }(aRa)$.

• $\ne$ «не рівно»
• $<$ «менше»
• $>$ «більше»
• $\subset$ «є підмножиною»
• "бути старшим" у множині людей
• "бути батьком"

Зображення антирефлексивних відношень

Матриця антирефлексивного відношення характеризується тим, що всі елементи її головної діагоналі – нулі.

Граф антирефлексивного відношення не має жодної петлі.

Джерела

• Шаблон:Куратовский.Мостовский.Теория множеств
• Шаблон:Хаусдорф.Теория множеств