Оборотний елемент

Оборотний елемент, також одиниця кільця чи дільник одиниці — будь-який елемент $𝐚$ кільця, для якого існує обернений елемент, тобто є такий елемент $𝐛$, що $𝐚𝐛=𝐛𝐚=1$.

Множина всіх О. е. (одиниць кільця) утворює мультиплікативну групу, яку називають групою одиниць або групою О. е..

Якщо $𝐚$ — дільник одиниці, тоді елементи $𝐚x$ і $x𝐚$ називаються асоційованими з $x$.

Зазвичай поняття дільника одиниці й асоційованого елемента вживається для областей цілісності.

Приклади

• В кільці цілих чисел два дільники одиниці: $+1$ і $-1$.
• В кільці лишків по модулю m, оборотними елементами є лишки взаємно прості з модулем m. Вони утворюють мультиплікативну групу кільця лишків.
• В кільці гаусових цілих чисел чотири дільники одиниці: $+1,-1,i,-i$.
• В кільці багаточленів над полем будь-який ненульовий елемент поля коефіцієнтів (як багаточлен нульового степеня) є дільником одиниці.

Джерела

• Шаблон:Ван.дер.Варден.Алгебра
• Шаблон:Ленг.Алгебра
• Шаблон:Бондаренко.Теорія кілець