Інтеграл Бохнера

Інтеграл Бохнера — це інтеграл для функцій, які приймають значення на банаховому просторі. По суті він є аналогом інтеграла Лебега для векторозначних функцій. Шаблон:Також

Прості і сильно вимірні функції

Нехай маємо вимірний простір $(ℝ,ℛ,\mu )$, де $\mu$ — σ-скінченна міра.

Означення

Функцію $f:ℝ\to X$, де $X$ — банаховий простір, назвемо простою, якщо виконується наступне:

$f(t)=\sum _{k=1}^n{c}_k{𝒳}_{E_k}(t)$,

де $(c_k\in X;k=1...n)$, а

$E_i$ — вимірні, мають скінченну міру і такі, що $E_i\cap E_j=\otimes$.

Означення

Функцію $f:ℝ\to X$ назвемо сильно вимірною, якщо існує послідовність простих функцій $\{f_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ така, що

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }||f_n(t)-f(t)||=0(mod\mu )$

Означення

Означення

Інтеграл Бохнера від простої функції $f:ℝ\to X$ по простору $ℝ$ позначається символом $\underset{ℝ}{\int }f(t)d\mu (t)$ і визначається так:

$\underset{ℝ}{\int }f(t)d\mu (t)=\sum _{k=1}^n{c}_k\mu (E_k)$

Означення

Функція $f:ℝ\to X$ називається інтегровною за Бохнером по простору $ℝ$, якщо вона сильно вимірна і знайдеться послідовність простих функцій $\{f_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ така, що $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }||f_n(t)-f(t)||=0(mod\mu )$ та

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{ℝ}{\int }||f_n(t)-f(t)||=0.$

Тоді існує границя

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{ℝ}{\int }{f}_n(t)d\mu (t)=\underset{ℝ}{\int }f(t)d\mu (t),$

яка і називається інтегралом Бохнера від функції $f$ на $ℝ$

Див. також

• Інтеграл Лебега

Посилання

• Шаблон:Березанський.Ус.Шефтель