Квадратриса

Квадратриса — плоска трансцендентна крива, що визначається кінематично. Винайдена софістом Гіппієм (V століття до н. е.), використовувалась в античні часи для розв'язання задач квадратури круга та трисекції кута.

Файл:Quadratrix trisection.png

Шаблон:Center

Кінематичне визначення

Розглянемо квадрат $ABCD$ (рис. 1), в який вписано сектор чверті круга. Нехай точка $E$ рівномірно рухається по дузі від точки $D$ до точки $B$; одночасно відрізок $A^{\prime }{B}^{\prime }$ рівномірно рухається з позиції $DC$ в позицію $AB$. Нарешті, вимагатимемо, щоб обидва рухи завершилися одночасно. Тоді точка перетину радіуса $AE$ та відрізка $A^{\prime }{B}^{\prime }$ опише квадратрису (позначена червоним). Шаблон:Clear

Рівняння кривої

Шаблон:Center

• В полярних координатах:

$\rho =\frac{2R}{\pi }\frac{\phi }{\sin \phi }.$

Виведення

Виведемо рівняння квадратриси у полярних координатах. Нехай $R$ — радіус кола, $\phi$ — поточний кут $FAG$, $\rho =AF$ — полярний радіус. Для зручності введемо час $t$, який за період руху зміняватиметься з 0 до 1. Тоді рівномірний рух точки $E$ по дузі довжиною $\frac{\pi }{2}$ можна виразити рівнянням: $\phi =\frac{\pi }{2}\cdot (1-t).$ Рівномірний рух відрізка $A^{\prime }{B}^{\prime }$ виразиться рівнянням: $A^{\prime }A=\rho \sin \phi =(1-t)R$ Виключаючи з рівнянь $1-t$, отримаємо остаточно: $\rho =\frac{2R\phi }{\pi \sin \phi }.$

• в прямокутних координатах можна записати рівняння квадратриси в наступному вигляді:

$x=y\mathrm{ctg}\frac{\pi y}{2R}$

Виведення

Приводимо рівняння в полярних координатах до наступного стану: $\rho \sin \phi =\frac{2R}{\pi }\phi$ Врахувавши $\rho \sin \phi =y$, отримаємо $y=\frac{2R}{\pi }\phi$ Із геометричних міркувань: $\phi =\mathrm{arctg}\frac{y}{x}$. Тоді рівняння постане у вигляді: $\frac{\pi y}{2R}=\mathrm{arctg}\frac{y}{x}$ Беремо тангенс обох частин: $\mathrm{tg}\frac{\pi y}{2R}=\frac{y}{x}$ тобто $x=y\mathrm{ctg}\frac{\pi y}{2R}$

Трисекція кута

Трисекція кута, тобто поділ довільного кута на три рівні частини, за допомогою квадратриси здійснюється елементарно. Нехай $EAB$ (рис. 1) — деякий кут, третину якого треба побудувати. Алгоритм поділу наступний:

1. Знаходимо точку $F$ на квадратрисі і її ординату $A^{\prime }$.
2. Відкладаємо на відрізку $A{A}^{\prime }$ його третю частину; отримаємо точку $H$.
3. Знаходимо на квадратрисі точку $K$ з ординатою $H$.
4. Проводимо промінь $AK$. Кут $KAB$ — шуканий.

Доведення даного алгоритму витікає з рівномірності обох рухів, що утворюють квадратрису.

Очевидно також, що аналогічними діями можна поділити кут на будь-яке число рівних частин.

Квадратура круга

Шаблон:Center

Тут завдання ставиться таким чином: побудувати квадрат з такою самою площею, як у заданого круга радіуса $R$. Алгебраїчно це означає рішення рівняння : $x^2=\pi R^2$.

Побудуємо для початкового круга квадратрису, як на рис. 1. Можна показати, що абсциса $AG$ її нижньої точки дорівнює $\frac{2R}{\pi }$. Відобразимо це у вигляді пропорції: $C:2R=2R:AG$, де $C=2\pi R$ — довжина кола. Наведене співвідношення дозволяє побудувати відрізок довжини $C$. Прямокутник із сторонами $R$ і $C/2$ буде мати потрібну площу, а побудувати рівновеликий йому квадрат — справа неважка.

Див. також

• Дінострат
• Квадратура круга
• Трисекція кута

Посилання

• Quadratrix of Hippias Шаблон:Webarchive на MacTutor archive.
• Quadratrix of Hippias на Convergence.