Розподіл Вейбулла

Розподіл Вейбулла (Шаблон:Lang-en) — неперервний розподіл ймовірностей. Названий на честь Валодді Вейбулла (Шаблон:Lang-en), котрий навів детальне описання розподілу в 1951 році, хоча першим його відкрив Фреше (1927) а застосував Розін та Рамлєр в 1933 для опису розподілу розміру гранул. Функція щільності розподілу Вейбулла x має вигляд::

$f(x;\lambda ,k)=\{\begin{array}{cc}\frac{k}{\lambda }{\left(\frac{x}{\lambda }\right)}^{k-1}{e}^{-(x/\lambda {)}^k}& x⩾0\\ 0& x<0\end{array}$

де $k>0$ визначає форму графіку, а $\lambda >0$ шкалу розподілу.

Визначення

Нехай розподіл випадкової величини $X$ задається щільністю $f_X(x)$, що має вид:

$f_X(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{k}{\lambda }{\left(\frac{x}{\lambda }\right)}^{k-1}{e}^{-{\left(\frac{x}{\lambda }\right)}^k},& x⩾0\\ 0,& x<0\end{array}.$

Тоді говорять, що $X$ має розподіл Вейбула. Пишуть: $X\sim \mathrm{W}(k,\lambda )$.

Моменти

Моменти випадкової величини $X$, що має розподіл Вейбулла мають вид

$𝔼\left[X^n\right]={\lambda }^n\mathrm{\Gamma }(1+\frac{n}{k})$,

звідки

$𝔼[X]=\lambda \mathrm{\Gamma }(1+\frac{1}{k})$,

$\mathrm{D}[X]={\lambda }^2[\mathrm{\Gamma }(1+\frac{2}{k})-{\mathrm{\Gamma }}^2(1+\frac{1}{k})]$.

Зв'язок з іншими розподілами

• Експоненційний розподіл є частковим випадком розподілу Вейбулла:

$\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(\lambda )\equiv \mathrm{W}(1,\frac{1}{\lambda })$.

• Метод зворотного перетворення: якщо $U\sim \mathrm{U}(0,1)$, те

$\lambda {(-\ln U)}^{1/k}\sim \mathrm{W}(k,\lambda )$.

Див. також

• Часовий ряд
• Експоненційний розподіл

Джерела

• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гнеденко.Курс теории вероятностей
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко