Фінслерова геометрія

Фінслерова геометрія — одне з узагальнень ріманової геометрії. У фінслеровій геометрії розглядаються многовиди з фінслеровим метричним тензором; тобто вибором гладкої норми на кожному дотичному просторі, яка гладко змінюється від точки до точки.

Основні поняття

Нехай $M^n$ — $n$-вімірний зв'язаний $C^{\mathrm{\infty }}$-многовид. Позначимо через $T{M}^n$ дотичне розшарування $M^n$. Тоді фінслеровою метрикою на $M^n$ називається функція $F:T{M}^n\to [0,\mathrm{\infty })$, що задовільняє властивостям:

1. $F\in C^{\mathrm{\infty }}(T{M}^n\setminus \{0\})$ ;
2. $F$ додатньо однородна першої степени, тобто для будь-якої пари $(x,y)\in T{M}^n$ і числа $\lambda >0$,

   $F(x,\lambda y)=\lambda F(x,y)$;

3. Для будь-якої пари $(x,y)\in T{M}^n$ білінійна форма ${𝐠}_y:T_x{M}^n\times T_x{M}^n\to ℝ$,

   ${𝐠}_y(u,v)=\frac{1}{2}\frac{{\partial }^2}{\partial t\partial s}[F^2(x,y+su+tv)]{|}_{s=t=0}$

додатньо визначена.

Джерела

• H. Rund. The Differential Geometry of Finsler Spaces, Springer-Verlag, 1959. ASIN B0006AWABG.