Інтегральний косинус

Графіки функцій Si(x) і Ci(x) на проміжку [0, 8π]

Інтегральний косинус — функція, визначена для додатних дійсних чисел формулою:

$\text{Ci}(x)=\gamma +\ln x+\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\cos t-1}{t}dt=-\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos t}{t}dt$

де $\gamma$ — стала Ейлера.

Також визначаються пов'язані функції:

$\mathrm{c}\mathrm{i}(x)=\mathrm{C}\mathrm{i}(x)$

$\mathrm{C}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)=\gamma +\ln x-\mathrm{C}\mathrm{i}(x)$

Властивості

• Інтегральний косинус пов'язаний з інтегральною показниковою функцією співвідношенням:

$\mathrm{Ci}(x)=\frac{1}{2}(\mathrm{Ei}(ix)+\mathrm{Ei}(-ix))$

• Для малих x $\mathrm{Ci}(x)\approx \gamma +\ln x$
• З деякими іншими функціями інтегральний косинус пов'язаний співвідношеннями:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{Ci}}^2(t)dt=\frac{\pi }{2},$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cos (t)\mathrm{Ci}(t)dt=-\frac{\pi }{4},\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{Ci}(t)\mathrm{si}(t)dt=-\ln 2.$

Розклад у ряд

Інтегральний косинус можна розкласти в ряд:

$\text{Ci}(x)=\gamma +\ln x+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{2n(2n)!}$

За допомогою даного ряду визначається також інтегральний косинус від комплексного аргументу. Як функція комплексної змінної інтегральний косинус аналітичний на комплексній площині з розрізом вздовж від'ємної дійсної півосі.

Асимптотичний розклад для $\mathrm{R}\mathrm{e}(x)\gg 1$ задається розбіжним рядом

$\mathrm{C}\mathrm{i}(x)=\frac{\sin x}{x}(1-\frac{2!}{x^2}+...)-\frac{\cos x}{x}(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^3}+...)$

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 2 — М.: Мир, 1985.