Теорема Ремзі

Двоколірний повний граф потужності 5, без монохроматичного повного підграфа потужності 3

Теорема Ремзі — теорема, винайдена англійським математиком Френком Ремзі, стосується комбінаторики, теорії графів та теорії множин.

Для двоколірного графа

Для довільних натуральних чисел $r,s$ існує натуральне число $R(r,s)$, таке що в повному графі з R(r, s) вершин, ребра якого розфарбовані в два кольори, знайдеться

• або повний підграф розміру $r$ першого кольору,
• або повний підграф розміру $s$ другого кольору.

Теорема узагальнюється на довільну кількість кольорів та на гіперграфи.

Для гіперграфа

m-гіперграфом є гіперграф, ребра якого є набором із m вершин.

Для натуральних чисел $m,c,n_1,\dots ,n_c$, існує натуральне число $R(n_1,\dots ,n_c;m)$ таке, що повний m-гіперграф порядку R, ребра якого розфарбовані в c різних кольорів, в якому для деякого числа i від 1 до c, існує повний під-m-гіперграф порядку $n_i$ кольору i.

Теоретико-множинне формулювання

Якщо X зліченна множина і всі множини X(n) (підмножини X потужності n) розфарбовані в c різних кольорів. Тоді існує нескінченна підмножина M в X, така що всі підмножини M потужності n мають однаковий колір.

Див. також

• Теорема Ердеша — Секереша
• Проблема трійок Буля — Піфагора

Джерела

• Теорема Ремзі Шаблон:Webarchive
• Теорія Ремзі Шаблон:Webarchive