Проєкція точки на пряму

Якщо в просторі аналітично задано:

точку $p(x,y,z)$ та

пряму, яка проходить через точку $p_0(x_0,y_0,z_0)$ в напрямку $v(v_x,v_y,v_z).$

Позначимо точкою $p_{\perp }$ проєкцію точки $p$ на задану лінію.

Координати цієї точки знаходяться за формулою:

$p_{\perp }=p_0+{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}}_v(p-p_0)=p_0+\frac{⟨p-p_0,v⟩}{|v{|}^2}v=p_0+\frac{(x-x_0)v_x+(y-y_0)v_y+(z-z_0)v_z}{v_x^2+v_y^2+v_z^2}v.$

Відстань від точки до прямої

$d=|p-p_{\perp }|=\sqrt{|p-p_0{|}^2-\frac{⟨p-p_0,v{⟩}^2}{|v{|}^2}}.$

Див. також

• Проєкція вектора

Джерела

• Шаблон:Погорєлов.Геометрія
• Шаблон:Гельфанд.Линейная алгебра