Метод прямокутників

Метод прямокутників — найпростіший метод чисельного інтегрування, що полягає у заміні значень функції на проміжку значенням функції в деякій точці проміжку.

Види формули прямокутників

Формула лівих прямокутників

У цьому випадку береться значення функції на початку проміжку:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=(b-a)f\left(a\right).$

Похибка обчислення рівна: $E(f)=\frac{(b-a{)}^2}{2}{f}^{\prime }(\eta ),\eta \in [a,b]$

Формула правих прямокутників

У цьому випадку береться значення функції в кінці проміжку:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=(b-a)f\left(b\right).$

Як і в попередньому випадку похибка обчислень рівна: $E(f)=\frac{(b-a{)}^2}{2}{f}^{\prime }(\eta ),\eta \in [a,b]$

Формула центральних прямокутників

Ця формула має вид:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=(b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right).$

Похибка обчислень рівна: $E(f)=\frac{(b-a{)}^3}{24}{f}^{″}(\eta ),\eta \in [a,b]$

Великі формули прямокутників

Для збільшення точності обчислень проміжок інтегрування розбивається на дрібніші проміжки до кожного з яких застосовується формула прямокутників. Загалом кількість проміжків розбиття рівна n і Δ = (b − a) / n то велика формула прямокутників має вигляд:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \sum _{i=1}^{n}f(a+i^{\prime }\mathrm{\Delta })\mathrm{\Delta }$

де $i^{\prime }$ може бути рівним $i-1$, $i$ чи $i-1/2,$ що відповідає формулам лівих, правих і центральних прямокутників.

• 
  Метод центральних прямокутників

Похибка великої формули центральних прямокутників задовольняє нерівність:

$E(f)\le \frac{{\mathrm{\Delta }}^2(b-a)}{24}{f}^{″}(\eta ),\eta \in [a,b]$

Див. також

• Метод трапецій
• Метод Сімпсона

Література

• Шаблон:Клепко ВМ
• Шаблон:Фіхтенгольц.укр