Ланцюговий дріб

Ланцюго́вий дріб (або неперервний дріб) — це математичний вираз виду

$[a_0;a_1,a_2,a_3,\cdots ]=a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\dots }}}$

де a₀ є ціле число, а всі інші a_n є натуральними числами. Узагальненими ланцюговими дробами називають вирази виду:

$a_0+\frac{b_1}{a_1+\frac{b_2}{a_2+\frac{b_3}{a_3+\dots }}}$

Будь-яке дійсне число може бути представлене ланцюговим дробом. Число представляється скінченним ланцюговим дробом тоді й лише тоді, коли воно раціональне.

Розклад в ланцюговий дріб

Будь-яке дійсне число $x$ може бути представлене ланцюговим дробом $[a_0;a_1,a_2,a_3,\cdots ]$, де

$a_0=\lfloor x\rfloor ,x_0=x-a_0,$

$a_1=\lfloor \frac{1}{x_0}\rfloor ,x_1=\frac{1}{x_0}-a_1,$

$\dots$

$a_n=\lfloor \frac{1}{x_{n-1}}\rfloor ,x_n=\frac{1}{x_{n-1}}-a_n,$

$\dots$

де $\lfloor x\rfloor$ позначає цілу частину числа $x$.

Для раціонального числа $x$ цей розклад завершиться після одержання нульового $x_n$ для деякого n. У цьому випадку $x$ представляється скінченним ланцюговим дробом $x=[a_0;a_1,\cdots ,a_n]$.

Для ірраціонального $x$ всі величини $x_n$ будуть ненульовими, і процес розкладу можна продовжувати нескінченно.

Приклад обчислення ланцюгового дробу для числа 3,245 подано в таблиці.

Обчислення ланцюгового дробу для числа 3,245
$3$	$3.245\left(3\frac{49}{200}\right)-3$	$=0.245\left(\frac{49}{200}\right)$	$1/0.245\left(\frac{200}{49}\right)$	$=4.082\left(4\frac{4}{49}\right)$
$4$	$4.082\left(4\frac{4}{49}\right)-4$	$=0.082\left(\frac{4}{49}\right)$	$1/0.082\left(\frac{49}{4}\right)$	$=12.250\left(12\frac{1}{4}\right)$
$12$	$12.250\left(12\frac{1}{4}\right)-12$	$=0.250\left(\frac{1}{4}\right)$	$1/0.250\left(\frac{4}{1}\right)$	$=4.000$
$4$	$4.000-4$	$=0.000$	STOP
ланцюговий дріб для числа 3,245 рівний [3; 4, 12, 4]
$3.245=3+\frac{1}{4+\frac{1}{12+\frac{1}{4}}}$

Приклади розкладу

• $\pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,\cdots ]$

якщо, проте, використовувати узагальнені ланцюгові дроби то отримаємо певні закономірності: $\pi =3+\frac{1^2}{6+\frac{3^2}{6+\frac{5^2}{6+\frac{7^2}{6+\frac{9^2}{6+\frac{11^2}{6+\frac{13^2}{6+\frac{15^2}{6+\ddots }}}}}}}}=\frac{4}{1+\frac{1^2}{3+\frac{2^2}{5+\frac{3^2}{7+\frac{4^2}{9+\frac{5^2}{11+\frac{6^2}{13+\frac{7^2}{15+\ddots }}}}}}}}$

• $e=\exp (1)=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,1,\dots ].$

Якщо n ціле число більше одиниці,

• $\exp (1/n)=[1;n-1,1,1,3n-1,1,1,5n-1,1,1,7n-1,1,1,\dots ].$

Якщо також n парне:

• $\exp (2/n)=[1;(n-1)/2,6n,(5n-1)/2,1,1,\dots ,3nk+(n-1)/2,6n(2k+1),3nk+(5n-1)/2,1,1,\dots ]$

при n = 1:

• $e^2=\exp (2)=[7;2,1,1,3,18,5,1,1,6,30,8,1,1,9,42,11,1,1,\dots ,3k,12k+6,3k+2,1,1,\dots ].$

• $\tanh (1/n)=[0;n,3n,5n,7n,9n,11n,13n,15n,17n,19n,\dots ]$

якщо n додатне число; також

• $\tan (1)=[1;1,1,3,1,5,1,7,1,9,1,11,1,13,1,15,1,\dots ]$

якщо n > 1,

• $\tan (1/n)=[0;n-1,1,3n-2,1,5n-2,1,7n-2,1,\dots ].$

Властивості

• Будь-яке раціональне число може бути представлене в виді скінченного ланцюгового дробу двома способами, більш довгий з яких завжди закінчується одиницею, а коротший відрізняється від нього тим, що останньої одиниці немає, а елемент перед одиницею на 1 більший. Наприклад:

$9/4=[2;3,1]=[2;4]$

• Теорема Лагранжа: Число можна подати у вигляді нескінченного періодичного лінійного дробу тоді й лише тоді коли воно є ірраціональним розв'язком квадратного рівняння з цілими коефіцієнтами.

Наприклад:

$\sqrt{2}=[1;2,2,2,2,\dots ]$

золотий поділ $\varphi =[1;1,1,1,\dots ]$

• Для інших — не квадратичних — алгебраїчних чисел характер розкладу не відомий.
• Для майже всіх дійсних чисел x середнє геометричне коефіцієнтів розкладу числа в ланцюговий дріб рівний константі Хінчіна (K ≈ 2,6854520010…)

n-м наближеним дробом для ланцюгового дробу $x=[a_0;a_1,a_2,a_3,\cdots ]$, називається скінченний ланцюговий дріб $[a_0;a_1,\cdots ,a_n]$, значення якого можна подати $\frac{p_n}{q_n}$.

• Парні наближені дроби утворюють зростаючу послідовність, а непарні — спадну. Обидві послідовності збігаються до x.
• Виконуються наступні рекурентні співвідношення:

$p_{-1}=1,p_0=a_0,p_n=a_n{p}_{n-1}+p_{n-2};$

$q_{-1}=0,q_0=1,q_n=a_n{q}_{n-1}+q_{n-2}.$

• $p_n{q}_{n-1}-q_n{p}_{n-1}=(-1{)}^{n-1},$

  $|x-\frac{p_n}{q_n}|<\frac{1}{q_n^2}.$

Звідси випливає наступне твердження:

• наближений дріб $\frac{p_n}{q_n}$ є найкращим наближенням для $x$ серед всіх дробів, знаменник яких не перевищує $q_n$;

Застосування

• при розробці сонячного календаря необхідно знайти раціональне наближення для числа 365,2421988… За допомогою ланцюгових дробів одержується послідовність:

$\frac{1}{4};\frac{7}{29};\frac{8}{33};\frac{31}{128};\frac{132}{545}\cdots$

Перший з цих дробів є основою юліанського календаря.

• Доведення ірраціональності чисел. Наприклад, за допомогою ланцюгових дробів доведена ірраціональність дзета-функції Рімана $\zeta (3)$ числа пі.
• Алгоритми факторизації SQUFOF и CFRAC.
• Характеристика ортогональних многочленів
• Характеристика стабільних многочленів
• Алгоритм Ланцоша використовує ланцюгові дроби для обчислення власних значень великих розріджених матриць.

Див. також

• Обмежені неповні частки

Джерела

• Шаблон:Дрозд.Теорія алгебричних чисел
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Claude Brezinski. History of continued fractions and Padé approximants Шаблон:Webarchive. Berlin: Springer-Verlag; 1991. — VIII + 551 pages. / Chapter 4 Шаблон:Webarchive. Golden Age. Pages 97-140.
• G. Blanch. Numerical Evaluation of Continued Fractions / SIAM Review, Vol. 6, No. 4, Oct. 1964, pp. 383—421
• J. Widž. From the History of Continued Fractions Шаблон:Webarchive // WDS'09 Proceedings of Contributed Papers, Part I, 176—181, 2009