p-адичне число

$p$-адичне число — в математиці є поповненням поля раціональних чисел відмінним від дійсних чисел. Поповнення відбувається не щодо звичайної евклідової норми, як у випадку дійсних чисел, а щодо так званої $p$-адичної норми. $p$-адичні числа особливо широко застосовуються в теорії чисел.

Елементарне означення

Нехай $p$ — деяке просте число. Тоді, як відомо кожне ціле число може бути записано:

$\sum _{i=0}^n{a}_i{p}^i$

де числа $a_i$ належать до множини $\{0,1,\dots ,p-1\}$. Загальновідомим є розширення даних чисел до множини дійсних чисел, кожне з яких може бути записане так:

$\pm \sum _{i=-\mathrm{\infty }}^n{a}_i{p}^i.$

де $n$ — деяке ціле число.

$p$-адичні числа натомість можуть бути записані у вигляді:

$\sum _{i=k}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{p}^i$

де $k$ — деяке ціле число.

Наприклад, взявши $p=5$, ми матимемо:

$-1=\dots 444444444_5$,

$\frac{1}{3}=\dots 131313132_5$.

Обчислення відбуваються за звичайними правилами для чисел з основою $5$. Числа для яких $a_i=0$ для $i<0$ називаються $p$-адичними цілими числами.

Аналітична побудова

p-адична норма

Нехай маємо деяке $x\in \mathbb{Z}$ — ціле число. Назвемо ординалом цього числа по відношенню щодо деякого простого $p$:

${\mathrm{ord}}_{p}x=\max \{r:p^r|x\}$

Далі для $\frac{a}{b}\in \mathbb{Q}$ визначимо:

${\mathrm{ord}}_p\frac{a}{b}={\mathrm{ord}}_{p}a-{\mathrm{ord}}_{p}b$

Еквівалентно, якщо $x=p^n\frac{a}{b}$, де $a$, $b$ не діляться на $p$ то ${\mathrm{ord}}_{p}x=n$. Вважатимемо також, що ординал нуля рівний безмежності. Визначимо $p$-адичну норму для $x\in \mathbb{Z}$ таким чином:

$|x{|}_p=\{\begin{array}{cc}{p}^{-{\mathrm{ord}}_{p}x},& a\ne 0\\ p^{-\mathrm{\infty }},& a=0.\end{array}$

Визначена подібним чином функція справді є нормою оскільки:

• $|x{|}_p=0$ тоді й лише тоді, коли $x=0$

Справді, $0$ — єдине число ординал якого рівний нескінченності і відповідно єдине, для якого виконується дана рівність.

• $|xy{|}_p=|x{|}_p|y{|}_p$

Справді, нехай $x=p^n\frac{a}{b}$, а $y=p^n\frac{c}{d}$, де жодне з чисел $a$, $b$, $c$, $d$ не ділиться на p. Тоді $xy=p^{n+m}\frac{ac}{bd}$ і $ac$, $bd$ не діляться на $p$.

За означеннями маємо: $|x{|}_p=\frac{1}{p^n}$, $|y{|}_p=\frac{1}{p^m}$,

$|xy{|}_p=\frac{1}{p^{n+m}}$, що й доводить наше твердження.

• $|x+y{|}_p\le \max \{|x{|}_p,|y{|}_p\}$

Нехай знову $x=p^n\frac{a}{b}$, а $y=p^n\frac{c}{d}$, де жодне з чисел $a$, $b$, $c$, $d$ не ділиться на $p$. Нехай також $n\le m$. Тоді $|x+y{|}_p=p^n\left(\frac{ad+p^{m-n}bc}{bd}\right)$.

Тож очевидно ординал $x+y$ не може бути меншим $n$. Окрім того у випадку коли $n$ строго менше $m$ ординал є рівним $n$ адже в такому випадку чисельник і знаменник у розписі суми очевидно не діляться на $p$.

Таким чином $|\cdot {|}_p$, є неархімедовою нормою на полі раціональних чисел. Наприклад для числа $x=63/550=2^{-1}\cdot 3^2\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}$

$|x{|}_2=2$

$|x{|}_3=1/9$

$|x{|}_5=25$

$|x{|}_7=1/7$

$|x{|}_{11}=11$

$|x{|}_p=1$, для інших простих чисел.

Фундаментальні послідовності і нуль-послідовності

Послідовність $(a_i)$ називається збіжною до $a\in \mathbb{Q}$ за нормою $|\cdot {|}_p$, якщо

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }|a_i-a{|}_p=0$.

Якщо $a=0$ то така послідовність називається нуль-послідовністю.

Послідовність $(a_i)$ називається фундаментальною, якщо:

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }M\in \mathbb{Z}$ таке що $m,n>M\Rightarrow |a_m-a_n{|}_p<\epsilon$.

Із збіжності послідовності випливає її фундаментальність. Зворотне твердження у множині раціональних чисел є невірним.

Побудова чисел

Введемо на множині фундаментальних послідовностей раціональних чисел щодо p-адичної норми відношення еквівалентності: фундаментальні послідовності $a_i$ і $b_i$ є еквівалентні тоді й лише тоді коли їх різниця є нуль-послідовнісю. Позначатимемо клас еквівалентності послідовності $(a_i)$ через $\{a_i\}$. На множині класів еквівалентності визначимо арифметичні операції:

$\{a_n\}+\{b_n\}=\{a_n+b_n\}$,

$\{a_n\}\{b_n\}=\{a_n{b}_n\}$.

Дані означення є несуперечливими оскільки сума двох нуль-послідовностей є нуль-послідовністю і добуток фундаментальної послідовності на нуль-послідовність є нуль-послідовністю. Визначимо також загальну $p$-адичну норму:

$|a_i{|}_p=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }|a_i{|}_p$

Таким чином сконструйовано поле, що є повним відносно p-адичної норми. Воно і називається полем $p$-адичних чисел. Раціональні числа є щільним підполем даного поля. Числа x для яких $|x{|}_p\le 1$ називаються p-адичними цілими числами.

Властивості

• Кожне p-адичне число можна єдиним способом подати у вигляді:

$\sum _{i=k}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{p}^i$.

Цим дані числа відрізняються від дійсних, для яких може бути кілька варіантів запису через суму степенів. Наприклад:

$1=0,999999999\dots$

• Сума $\sum _{i=k}^{\mathrm{\infty }}{a}_i$ $p$-адичних чисел збіжна тоді й лише тоді коли $(a_i)$ є нуль-послідовністю.
• Топологічний простір $p$-адичних цілих чисел з метричною топологією гомеоморфний множині Кантора, а простір $p$-адичних чисел з метричною топологією гомеоморфний множині Кантора з вирізаною точкою.

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book