Ріманова поверхня

Ріманова поверхня ƒ(z) = √z

Ріманова поверхня — традиційна в комплексному аналізі назва 1-вимірного комплексного многовиду. Такі поверхні почав систематично вивчати Бернгард Ріман. Прикладами ріманових поверхонь є комплексна площина і сфера Рімана.

Визначення

Зв'язний гаусдорфів топологічний простір R називається рімановою поверхнею, якщо на ньому можна задати покриття відкритими множинами $(U_{\alpha }{)}_{\alpha \in A}$ причому кожній множині $U_{\alpha }$ відповідає гомеоморфне відображення ${\phi }_{\alpha }$ із множини $U_{\alpha }$ у деяку відкриту підмножину комплексної площини, причому якщо перетин $U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ є непустою множиною, то функція:

${\phi }_{\alpha ,\beta }:{\phi }_{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to {\phi }_{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta }),{\phi }_{\alpha ,\beta }={\phi }_{\beta }\circ {\phi }_{\alpha }^{-1}.$

є голоморфною. Множина $(U_{\alpha },{\phi }_{\alpha }{)}_{\alpha \in A}$ при цьому називається атласом, а її елементи картами. Якщо даний топологічний простір є також компактним, то ріманова поверхня називається компактною або замкнутою

Приклади

Сфера Рімана.

• Комплексна площина $ℂ$ є одним із найпростішим прикладів ріманової поверхні. Одиничне відображення $\phi (z)=z$ визначає карту на множині $ℂ$, і $ℂ,\phi$ є необхідним атласом. Відображення $\phi (z)=\bar{z}$ (комплексне спряження) також визначає атлас на $ℂ$. Дані атласи не є еквівалентними.

• Подібним чином кожна відкрита множина комплексної площини є рімановою поверхнею.

• Нехай $\widehat{ℂ}=ℂ\cup \{\mathrm{\infty }\},{\phi }_1(z)=z$ де $z\in \widehat{ℂ}\setminus \{\mathrm{\infty }\}$ і ${\phi }_2(z)=\frac{1}{z}$ де $z\in \widehat{ℂ}\setminus \{0\}$. Тоді ${\phi }_1,{\phi }_2$ із своїми областями визначення визначають атлас. Множина $\widehat{ℂ}$ з визначеною таким чином комплексною структурою є компактною рімановою поверхнею гомеоморфною сфері. Дана поверхня називається рімановою сферою.

Тор

• Теорія поверхонь Рімана є еквівалентною теорії несингулярних алгебраїчних кривих над комплексними числами. Наприклад тор $ℂ/(\mathbb{Z}\oplus \tau Z^{‴})$, де τ комплексне число, що не є дійсним, відповідає через еліптичну функцію Вейєрштрасса деякій еліптичній кривій.
• Важливі приклади некомпактних ріманових поверхонь дають аналітичні продовження.

• 
  $f(z)=\arcsin z,$
• 
  $f(z)=\log z,$
• 
  $f(z)=z^{\frac{1}{2}}$
• 
  $f(z)=z^{\frac{1}{3}}$
• 
  $f(z)=z^{\frac{1}{4}}$

Див. також

• Диференціал Абеля
• Многовид
• Теорема Рімана — Роха
• Фуксова модель
• Поверхня Больци
• Поверхня Гурвіца
• Модулі ріманової поверхні

Література

• Форстер О. Римановы поверхности. М: Мир, 1980 247 ст.
• Farkas, Hershel M.; Kra, Irwin (1980), Riemann Surfaces (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90465-8