Промінь (геометрія)

Про́мінь (в геометрії), або півпряма́ — частина прямої, обмежена лише з однієї сторони, тобто промінь є частиною прямої, яка виходить із заданої точки й прямує до нескінченності в даному напрямку.

Проведемо якусь лінію та позначимо на ній точку $A$. Точка $A$ поділяє цю лінію на дві частини. Кожна з частин називається променем (або півпрямою), а точка $A$ називається початковою точкою. Вважається, що точка $A$ є частиною променя. Промінь складається з точки $A$ й усіх точок, що знаходяться на цій прямій в одному напрямі до нескінченності. Але щоб використовувати це поняття в доказах, потрібне точніше означення.

Візьмемо відмінні точки $A$ та $B$, що визначають певний промінь із початковою точкою $A$. Цей промінь складається зі всіх точок між $A$ і $B$ (включно з $A$ та $B$) й усіх точок $C$ на цій самій лінії таким чином, що $B$ знаходиться між $A$ і $C$. Часом це також виражається як набір всіх точок $C$ таким чином, що $A$ не знаходиться між $B$ і $C$. Точка $D$ знаходиться на тій самій лінії, що й $A$ та $B$, але не на промені від $A$ в напрямку $B$. Таким чином утворюється промінь $AD$, який називається протилежним до $AB$.

Промінь

Отже, можна сказати, що $A$ та $B$ визначають лінію і її поділ на два диз'юнктні об'єднання відкритого сегменту $A$, $B$, на два промені $BC$ і $AD$ (точка $D$ не зображена на діаграмі, але знаходиться зліва від $A$). Ці два промені вже не є протилежними, оскільки вони мають різні початкові точки.

Визначення променя ґрунтується на понятті проміжності для точок на лінії, а, отже, промені можуть існувати тільки в тих геометріях, де це поняття існує. Вони існують в евклідовій геометрії і афінній геометрії через впорядковане поле. Промені не існують в проєктивній геометрії та геометріях з невпорядкованими полями типу комплексних чисел або поля Галуа.

У топології промінь в просторі $X$ є образом відображення $R$⁺$⟶X$. Він використовується для того, щоб визначити важливе поняття кінця простору.

Бібліографія

• Faber, Richard L. (1983). Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry. New York: Marcel Dekker. ISBN 0-8247-1748-1.
• Pedoe, Dan (1988), Geometry: A Comprehensive Course, Mineola, NY: Dover, ISBN 0-486-65812-0
• Wylie, Jr., C. R. (1964), Foundations of Geometry, New York: McGraw-Hill, ISBN 0-07-072191-2