Нотація Ландау

Приклад використання нотації О-велике: $f(x)\in O(g(x))$, бо існують $L>0$ (наприклад, $L=1$) та $x_0$ (наприклад, $x_0=5$), такі, що $f(x)⩽Lg(x)$ для кожного $x⩾x_0$.

Нотація Ландау — поширена математична нотація для формального запису асимптотичної поведінки функцій. Широко вживається в теорії складності обчислень, інформатиці та математиці.

Названа нотацією Ландау на честь німецького математика Едмунда Ландау, який популяризував цю нотацію.

Відношення «Шаблон:Mvar»

Означення для функцій дійсного (комплексного) аргументу

Через $𝕂$ позначимо $ℝ$ або $ℂ$. Нехай $A\subset 𝕂$, $f,g:A\to 𝕂$ і $x_0$ — гранична точка множини $A$. Через $B(x_0,\delta )$ позначимо $\delta$-окіл точки $x_0$.

Функція $f$ називається підпорядкованою функції $g$ при $x\to x_0$, якщо існують дійсні додатні числа $L$ та $\delta$ такі, що для довільного $x\in A\cap B(x_0,\delta )\setminus \{x_0\}$ виконується нерівність $|f(x)|⩽L|g(x)|.$

Для $𝕂=ℝ$ функція $f$ називається підпорядкованою функції $g$ при $x\to +\mathrm{\infty }$, якщо існують дійсне додатнє число $L$ і дійсне $C$ такі, що для довільного $x\in A\cap (C,+\mathrm{\infty })$ виконується нерівність $|f(x)|⩽L|g(x)|.$

Для $𝕂=ℂ$ функція $f$ називається підпорядкованою функції $g$ при $x\to \mathrm{\infty }$, якщо існують дійсне додатнє число $L$ і дійсне $C$ такі, що для довільного $x\in A\cap \{z\in ℂ\mid |z|>C\}$ виконується нерівність $|f(x)|⩽L|g(x)|.$

Позначення: $f(x)=O(g(x))$, $x\to x_0$ або $f=O(g)$, $x\to x_0$.

Означення для функцій цілого невід'ємного аргументу

Нехай $f,g:\mathbb{N}\cup \{0\}\to {ℝ}_{+}$. Функція $f$ називається підпорядкованою функції $g$ якщо існують додатнє дійсне число $C$ і натуральне $n_0$ такі, що для довільного $n⩾n_0$ виконується нерівність $f(n)⩽Cg(n).$

Позначення: $f(n)=O(g(n))$ або $f=O(g)$.

Також кажуть, що «$f$ зростає не швидше ніж $g$» або «$g$ є асимптотичною верхньою оцінкою $f$».

Властивості

1. $C\cdot f=O(f),x\to x_0$ для довільного $C\in 𝕂.$
2. $C=O(1)$ для довільного $C\in 𝕂.$
3. Якщо $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0}\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|\in ℝ$, то $f=O(g),x\to x_0.$
4. Якщо $f=O(h),x\to x_0$ і $g=O(h),x\to x_0$, то $f+g=O(h),x\to x_0.$
5. Якщо $f=O(g),x\to x_0,$ то $f+g=O(g),x\to x_0.$
6. Якщо $f_1=O(g_1),x\to x_0$ і $f_2=O(g_2),x\to x_0,$ то $f_1\cdot f_2=O(g_1\cdot g_2),x\to x_0.$
7. Якщо $f_1=O(g_1),x\to x_0$ і $f_2=O(g_2),x\to x_0,$ то $f_1+f_2=O(\max (g_1,g_2)),x\to x_0.$
8. Якщо $f=O(g),x\to x_0$ і $g=O(h),x\to x_0,$ то $f=O(h),x\to x_0.$ (транзитивність)

Відношення «Шаблон:Mvar»

Означення для функцій дійсного (комплексного) аргументу

Через $𝕂$ позначимо $ℝ$ або $ℂ$. Нехай $A\subset 𝕂$, $f,g:A\to 𝕂$ і $x_0$ — гранична точка множини $A$. Через $B(x_0,\delta )$ позначимо $\delta$-окіл точки $x_0$.

Кажуть, що функція $f$ підпорядковує функцію $g$ при $x\to x_0$, якщо існують дійсні додатні числа $L$ та $\delta$ такі, що для довільного $x\in A\cap B(x_0,\delta )\setminus \{x_0\}$ виконується нерівність $|f(x)|⩾L|g(x)|.$

Для $𝕂=ℝ$ кажуть, що функція $f$ підпорядковує функцію $g$ при $x\to +\mathrm{\infty }$, якщо існують дійсне додатнє число $L$ і дійсне $C$ такі, що для довільного $x\in A\cap (C,+\mathrm{\infty })$ виконується нерівність $|f(x)|⩾L|g(x)|.$

Для $𝕂=ℂ$ кажуть, що функція $f$ підпорядковує функцію $g$ при $x\to \mathrm{\infty }$, якщо існують дійсне додатнє число $L$ і дійсне $C$ такі, що для довільного $x\in A\cap \{z\in ℂ\mid |z|>C\}$ виконується нерівність $|f(x)|⩾L|g(x)|.$

Позначення: $f(x)=\mathrm{\Omega }(g(x))$, $x\to x_0$ або $f=\mathrm{\Omega }(g)$, $x\to x_0$.

Означення для функцій цілого невід'ємного аргументу

Нехай $f,g:\mathbb{N}\cup \{0\}\to {ℝ}_{+}$. Кажуть, що функція $f$ підпорядковує функцію $g$ якщо існують додатнє дійсне число $C$ і натуральне $n_0$ такі, що для довільного $n⩾n_0$ виконується нерівність $f(n)⩾Cg(n).$

Позначення: $f(n)=\mathrm{\Omega }(g(n))$ або $f=\mathrm{\Omega }(g)$.

Також кажуть, що «$f$ зростає не повільніше ніж $g$» або «$g$ є асимптотичною нижньою оцінкою $f$».

Властивості

1. $g=O(f),x\to x_0$ тоді й лише тоді, коли $f=\mathrm{\Omega }(g),x\to x_0.$
2. $C\cdot f=\mathrm{\Omega }(f),x\to x_0$ для довільного $C\in 𝕂\setminus \{0\}.$
3. $C=\mathrm{\Omega }(1)$ для довільного $C\in 𝕂\setminus \{0\}.$
4. Якщо $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0}\left|\frac{g(x)}{f(x)}\right|\in ℝ$, то $f=\mathrm{\Omega }(g),x\to x_0.$
5. Якщо $f=\mathrm{\Omega }(h),x\to x_0$ і $g=\mathrm{\Omega }(h),x\to x_0$, то $f+g=\mathrm{\Omega }(h),x\to x_0.$
6. Якщо $f=\mathrm{\Omega }(g),x\to x_0,$ то $f+g=\mathrm{\Omega }(g),x\to x_0.$
7. Якщо $f_1=\mathrm{\Omega }(g_1),x\to x_0$ і $f_2=\mathrm{\Omega }(g_2),x\to x_0,$ то $f_1\cdot f_2=\mathrm{\Omega }(g_1\cdot g_2),x\to x_0.$
8. Якщо $f_1=\mathrm{\Omega }(g_1),x\to x_0$ і $f_2=\mathrm{\Omega }(g_2),x\to x_0,$ то $|f_1|+|f_2|=\mathrm{\Omega }(\min (g_1,g_2)),x\to x_0.$
9. Якщо $f=\mathrm{\Omega }(g),x\to x_0$ і $g=\mathrm{\Omega }(h),x\to x_0,$ то $f=\mathrm{\Omega }(h),x\to x_0.$ (транзитивність)

Відношення «Шаблон:Mvar»

Означення для функцій дійсного (комплексного) аргументу

Через $𝕂$ позначимо $ℝ$ або $ℂ$. Нехай $A\subset 𝕂$, $f,g:A\to 𝕂$ і $x_0$ — гранична точка множини $A$. Через $B(x_0,\delta )$ позначимо $\delta$-окіл точки $x_0$.

Функція $g$ називається асимптотичною точною оцінкою функції $f$ при $x\to x_0$, якщо існують дійсні додатні числа $L_1,$ $L_2$ та $\delta$ такі, що для довільного $x\in A\cap B(x_0,\delta )\setminus \{x_0\}$ виконується нерівність $L_1|g(x)|⩽|f(x)|⩽L_2|g(x)|.$

Для $𝕂=ℝ$ функція $g$ називається асимптотичною точною оцінкою функції $f$ при $x\to +\mathrm{\infty }$, якщо існують дійсні додатні числа $L_1,$ $L_2$ і дійсне $C$ такі, що для довільного $x\in A\cap (C,+\mathrm{\infty })$ виконується нерівність $L_1|g(x)|⩽|f(x)|⩽L_2|g(x)|.$

Для $𝕂=ℂ$ функція $g$ називається асимптотичною точною оцінкою функції $f$ при $x\to \mathrm{\infty }$, якщо існують дійсні додатні числа $L_1,$ $L_2$ і дійсне $C$ такі, що для довільного $x\in A\cap \{z\in ℂ\mid |z|>C\}$ виконується нерівність $L_1|g(x)|⩽|f(x)|⩽L_2|g(x)|.$

Позначення: $f(x)=\mathrm{\Theta }(g(x))$, $x\to x_0$ або $f=\mathrm{\Theta }(g)$, $x\to x_0$.

Означення для функцій цілого невід'ємного аргументу

Нехай $f,g:\mathbb{N}\cup \{0\}\to {ℝ}_{+}$. Функція $g$ називається асимптотичною точною оцінкою функції $f$ якщо існують дійсні додатні числа $C_1,$ $C_2$ і натуральне $n_0$ такі, що для довільного $n⩾n_0$ виконується нерівність $C_{1}g(n)⩽f(n)⩽C_{2}g(n).$

Позначення: $f(n)=\mathrm{\Theta }(g(n))$ або $f=\mathrm{\Theta }(g)$.

Властивості

1. $f=\mathrm{\Theta }(g),x\to x_0$ тоді й лише тоді, коли $f=O(g),x\to x_0$ і $g=\mathrm{\Omega }(f),x\to x_0.$
2. $f=\mathrm{\Theta }(g),x\to x_0$ тоді й лише тоді, коли $g=\mathrm{\Theta }(f),x\to x_0.$

Відношення «Шаблон:Mvar»

Означення для функцій дійсного (комплексного) аргументу

Через $𝕂$ позначимо $ℝ$ або $ℂ$. Нехай $A\subset 𝕂$, $f,g:A\to 𝕂$ і $x_0$ — гранична точка множини $A$. Через $B(x_0,\delta )$ позначимо $\delta$-окіл точки $x_0$.

Функція $f$ називається знехтуваною у порівнянні з функцією $g$ при $x\to x_0,$ якщо для довільного додатнього $\epsilon$ існує додатнє $\delta$ таке, що для довільного $x\in A\cap B(x_0,\delta )\setminus \{x_0\}$ виконується нерівність $|f(x)|⩽\epsilon |g(x)|.$

Для $𝕂=ℝ$ функція $f$ називається знехтуваною у порівнянні з функцією $g$ при $x\to +\mathrm{\infty }$, якщо для довільного додатнього $\epsilon$ існує додатнє $C$ таке, що для довільного $x\in A\cap (C,+\mathrm{\infty })$ виконується нерівність $|f(x)|⩽\epsilon |g(x)|.$

Для $𝕂=ℂ$ функція $f$ називається знехтуваною у порівнянні з функцією $g$ при $x\to \mathrm{\infty }$, якщо для довільного додатнього $\epsilon$ існує додатнє $C$ таке, що для довільного $x\in A\cap \{z\in ℂ\mid |z|>C\}$ виконується нерівність $|f(x)|⩽\epsilon |g(x)|.$

Позначення: $f(x)=o(g(x))$ або $f=o(g).$

Означення для функцій цілого невід'ємного аргументу

Нехай $f,g:\mathbb{N}\cup \{0\}\to {ℝ}_{+}$. Функція $f$ називається знехтуваною у порівнянні з функцією $g$, якщо для довільного додатнього $C$ існує натуральне $n_0$ таке, що для довільного $n⩾n_0$ виконується нерівність $f(n)⩽Cg(n).$

Властивості

1. $f=o(g),x\to x_0$ тоді й лише тоді, коли $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0.$
2. Якщо $f=o(g),x\to x_0,$ то $f=O(g),x\to x_0.$
3. Якщо $f=o(g),x\to x_0$ і $g=O(h),x\to x_0,$ то $f=o(h),x\to x_0.$ Таким чином, $o(O(h))=o(h),x\to x_0.$ Аналогічно $O(o(h))=o(h),x\to x_0.$
4. Якщо $f_1=o(g),x\to x_0$ і $f_2=o(g),x\to x_0,$ то $f_1+f_2=o(g),x\to x_0.$
5. Якщо $f_1=o(g_1),x\to x_0$ і $f_2=O(g_2),x\to x_0,$ то $f_1\cdot f_2=o(g_1\cdot g_2),x\to x_0.$
6. Якщо $f=o(g),x\to x_0$ і $g=o(h),x\to x_0,$ то $f=o(h),x\to x_0.$ (транзитивність)

Відношення «ω»

Означення для функцій дійсного (комплексного) аргументу

Через $𝕂$ позначимо $ℝ$ або $ℂ$. Нехай $A\subset 𝕂$, $f,g:A\to 𝕂$ і $x_0$ — гранична точка множини $A$. Через $B(x_0,\delta )$ позначимо $\delta$-окіл точки $x_0$.

Функція $f$ називається домінуючою у порівнянні з функцією $g$ при $x\to x_0,$ якщо для довільного додатнього $\epsilon$ існує додатнє $\delta$ таке, що для довільного $x\in A\cap B(x_0,\delta )\setminus \{x_0\}$ виконується нерівність $|f(x)|⩾\epsilon |g(x)|.$

Для $𝕂=ℝ$ функція $f$ називається домінуючою у порівнянні з функцією $g$ при $x\to +\mathrm{\infty }$, якщо для довільного додатнього $\epsilon$ існує додатнє $C$ таке, що для довільного $x\in A\cap (C,+\mathrm{\infty })$ виконується нерівність $|f(x)|⩾\epsilon |g(x)|.$

Для $𝕂=ℂ$ функція $f$ називається домінуючою у порівнянні з функцією $g$ при $x\to \mathrm{\infty }$, якщо для довільного додатнього $\epsilon$ існує додатнє $C$ таке, що для довільного $x\in A\cap \{z\in ℂ\mid |z|>C\}$ виконується нерівність $|f(x)|⩾\epsilon |g(x)|.$

Позначення: $f(x)=\omega (g(x))$ або $f=\omega (g).$

Означення для функцій цілого невід'ємного аргументу

Нехай $f,g:\mathbb{N}\cup \{0\}\to {ℝ}_{+}$. Функція $f$ називається домінуючою у порівнянні з функцією $g$, якщо для довільного додатнього $C$ існує натуральне $n_0$ таке, що для довільного $n⩾n_0$ виконується нерівність $f(n)⩾Cg(n).$

Властивості

1. $g=o(f),x\to x_0$ тоді й лише тоді, коли $f=\omega (g),x\to x_0.$
2. $f=\omega (g),x\to x_0$ тоді й лише тоді, коли $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0}\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|=+\mathrm{\infty }.$
3. Якщо $f=\omega (g),x\to x_0,$ то $f=\mathrm{\Omega }(g),x\to x_0.$
4. Якщо $f=\omega (g),x\to x_0$ і $g=\mathrm{\Omega }(h),x\to x_0,$ то $f=\omega (h),x\to x_0.$ Таким чином, $\omega (\mathrm{\Omega }(h))=\omega (h),x\to x_0.$ Аналогічно $\mathrm{\Omega }(\omega (h))=\omega (h),x\to x_0.$
5. Якщо $f_1=\omega (g),x\to x_0$ і $f_2=\omega (g),x\to x_0,$ то $f_1+f_2=\omega (g),x\to x_0.$
6. Якщо $f_1=\omega (g_1),x\to x_0$ і $f_2=\mathrm{\Omega }(g_2),x\to x_0,$ то $f_1\cdot f_2=\omega (g_1\cdot g_2),x\to x_0.$
7. Якщо $f=\omega (g),x\to x_0$ і $g=\omega (h),x\to x_0,$ то $f=\omega (h),x\to x_0.$ (транзитивність)

Відношення еквівалентності функцій

Через $𝕂$ позначимо $ℝ$ або $ℂ$. Нехай $A\subset 𝕂$, $f,g:A\to 𝕂$ і $x_0$ — гранична точка множини $A$.

Функції $f$ і $g$ називаються еквівалентними при $x\to x_0,$ якщо $f-g=o(f),x\to x_0.$

Означення для функцій цілого невід'ємного аргументу аналогічне.

Позначення: $f(x)\sim g(x),x\to x_0$ або $f\sim g,x\to x_0.$

Властивості

1. Відношення $\sim$ є відношенням еквівалентності на множині функцій.
2. Нехай для всіх $x\in A\setminus \{x_0\}$ $g(x)\ne 0.$ Тоді $f\sim g,x\to x_0$ тоді й лише тоді, коли $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1.$
3. Якщо $f_1\sim g_1,x\to x_0$ і $f_2\sim g_2,x\to x_0,$ то $f_1\cdot f_2\sim g_1\cdot g_2,x\to x_0.$
4. Нехай для всіх $x\in A\setminus \{x_0\}$ $f(x)\ne 0$, $g(x)\ne 0$ і $f\sim g,x\to x_0.$ Тоді для будь-якої функції $h:A\to 𝕂$ з існування однієї з границь

випливає існування другої границі і їх рівність.

Аналогічно з існування однієї з границь

випливає існування другої і їх рівність.

Приклади

Приклад 1: Нехай $f(x)=2x^5-6x^2-15$, $x\in ℝ$ і $x_0=+\mathrm{\infty }$. Маємо:

$\begin{array}{cc}|2x^5-6x^2-15|& ⩽2|x^5|+6x^2+15\\ & ⩽15|x^5|+15|x^5|+15|x^5|\\ & =45|x^5|,\end{array}$

тобто $L=45$ і ця нерівність виконується для всіх $x\in (1,+\mathrm{\infty }).$

Звідси $f(x)=O(x^5),x\to +\mathrm{\infty }.$

$|2x^5-6x^2-15|⩾2|x^5|$, тут $L=2$ і $x\in (2.2,+\mathrm{\infty }).$ Звідси $f(x)=\mathrm{\Omega }(x^5),x\to +\mathrm{\infty }.$

Отже, $f(x)=\mathrm{\Theta }(x^5),x\to +\mathrm{\infty }.$

Приклад 2: Нехай $n$ і $m$ цілі числа, $z\in ℂ$. Якщо $n⩾m$, то $z^m=O(z^n)$ при $z\to \mathrm{\infty }$. Для доведення цього запишемо Шаблон:Center Покладемо $\delta =10$. Тоді $|z|>\delta$ означає що $|z{|}^{m-n}⩽10^{m-n}$, оскільки $n⩾m$. Отже, якщо $|z|>10$, нерівність $|z{|}^m⩽L|z^{m-n}|$ виконується при виборі $L=10^{m-n}$. Також, з аналогічним обмеженням на $n$ та $m$, ми маємо, що $z^n=O(z^m)$ при $z\to 0$ з $ℂ$. Для доведення цього запишемо Шаблон:Center Виберемо, наприклад, $\delta =3$. Тоді, $0<|z|<3$ означає, що $|z{|}^{n-m}<3^{n-m}$ оскільки $n⩾m$.

Використання

Нотація Ландау має дві основні сфери використання:

• У математичному аналізі зазвичай використовується для опису того, наскільки часткова сума ряду наближає задану функцію, наприклад, у формулі Тейлора та асимптотичному розкладі
• В інформатиці використовується для аналізу алгоритмів та їх класифікації

В обох випадках функція $g(x)$ в позначеннях, як правило, вибирається максимально простою без константних множників.

Деякі важливі класи відношень

Графіки деяких поширених функцій.

Нижче наведений список класів функцій, які часто зустрічаються в аналізі алгоритмів. Тут с — додатна константа, n необмежено зростає. Функції, які зростають повільніше, наведені першими.

Нотація	Назва	Приклад
$\mathrm{\Theta }(1)$	сталий час	Визначенно парності числа (у двійковому запису); Пошук у хеш-таблиці
$\mathrm{\Theta }(\log \log n)$	двічі логарифмічний	Час амортизації на одну операцію при використанні обмеженої черги з пріоритетом
$\mathrm{\Theta }(\log n)$	логарифмічний час	Двійковий пошук; Швидке піднесення до степеня
$\mathrm{\Theta }((\log n{)}^c)$ $c>1$	полілогарифмічний час
$\mathrm{\Theta }(n)$	лінійний час	Пошук найбільшого або найменшого елементу невпорядкованого масиву
$\mathrm{\Theta }(n\log n)=\mathrm{\Theta }(\log n!)$	лінеаритмічний час	Швидке сортування; Сортування злиттям
$\mathrm{\Theta }(n^2)$	квадратичний час	Сортування бульбашкою; Сортування включенням
$\mathrm{\Theta }(n^c)$	поліноміальний час	Алгоритм Кармаркара для лінійного програмування; Тест простоти AKS
$\mathrm{\Theta }(c^n)$ $c>1$	експоненціальний час	Вирішення задачі комівояжера за допомогою динамічного програмування
$\mathrm{\Theta }(n!)$	факторіальний час	Вирішення задачі комівояжера повним перебором

Розширення нотації Ландау

У інформатиці іноді використовується позначення Õ (читається як м’яке О): f(n) = Õ(g(n)) це скороченням до Шаблон:Nowrap для деякого k. Іноді для цього використовують O^*. По суті, це нотація великого O, яка ігнорує логарифмічні множники, оскільки на швидкість зростання деякі більші функції від великих вхідних параметрів впливають значно більше, що важливіше для прогнозування поганої продуктивності під час виконання. Це позначення часто використовується, щоб уникнути «придирок» до темпів зростання, які вважаються жорстко обмеженими (log^k n завжди є o(n^ε) для будь-якої константи k і будь-якого Шаблон:Nowrap).

Для позначення функцій, які мають час зростання, що залежить від $\ln n$, між поліноміальним та експоненціальним, використовують L-нотацію:

$L_n[\alpha ,c]=e^{(c+o(1))(\ln n{)}^{\alpha }(\ln \ln n{)}^{1-\alpha }},$

де $c$ — додатня стала, $\alpha \in [0,1].$

Узагальнення для функцій багатьох змінних

Існує декілька узагальнень нотації Ландау для функцій багатьох функцій. Одне з них:

Для функції $h:{\mathbb{N}}_0^m\to {ℝ}_{+}$, де ${\mathbb{N}}_0=\mathbb{N}\cup \{0\}$, позначимо Шаблон:Center

Нехай $f,g:{\mathbb{N}}_0^m\to {ℝ}_{+}$. Функція $f$ називається підпорядкованою функції $g$ якщо існують додатнє дійсне число $C$ і натуральне $n_0$ такі, що для всіх $n_1⩾n_0,\dots ,n_m⩾n_0$ виконуються нерівності Шаблон:Center та Шаблон:Center

Позначення: $f(n_1,\dots ,n_m)=\hat{O}(g(n_1,\dots ,n_m))$ або $f=\hat{O}(g)$.

Аналогічно, $f(n_1,\dots ,n_m)=\hat{\mathrm{\Omega }}(g(n_1,\dots ,n_m))$, якщо існують додатнє дійсне число $C$ і натуральне $n_0$ такі, що для всіх $n_1⩾n_0,\dots ,n_m⩾n_0$ виконуються нерівності Шаблон:Center та Шаблон:Center

$f(n_1,\dots ,n_m)=\hat{\mathrm{\Theta }}(g(n_1,\dots ,n_m))$, якщо існують додатні дійсні числа $C_1$, $C_2$ і натуральне число $n_0$ такі, що для всіх $n_1⩾n_0,\dots ,n_m⩾n_0$ виконуються нерівності Шаблон:Center та Шаблон:Center

Для функцій одного аргументу матимемо, що для $f(n)\ne 0$ при деякому $n\in \mathbb{N}$ буде $O(f(n))=\hat{O}(f(n))$, $\mathrm{\Omega }(f(n))=\hat{\mathrm{\Omega }}(f(n))$ і $\mathrm{\Theta }(f(n))=\hat{\mathrm{\Theta }}(f(n)).$ Однак, для $f(n)=0$ при всіх $n\in \mathbb{N}$ це не буде вірним.

$f(n_1,\dots ,n_m)=\hat{o}(g(n_1,\dots ,n_m))$, якщо для кожного додатного дійсного числа $C$ існує натуральне число $n_0$ таке, що для всіх $n_1⩾n_0,\dots ,n_m⩾n_0$ виконуються нерівності Шаблон:Center та Шаблон:Center

$f(n_1,\dots ,n_m)=\hat{\omega }(g(n_1,\dots ,n_m))$, якщо для кожного додатного дійсного числа $C$ існує натуральне число $n_0$ таке, що для всіх $n_1⩾n_0,\dots ,n_m⩾n_0$ виконуються нерівності Шаблон:Center та Шаблон:Center

Для функцій однієї змінної відношення $\hat{o}$, $\hat{\omega }$ збігаються з відношеннями $o$, $\omega$ відповідно.

Додаткова умова до $\hat{f}$ і $\hat{g}$ дозволяє зберегти деякі корисні властивості.

Властивості

1. Для довільного $C>0$ буде $Cf(n_1,\dots ,n_m)=\hat{O}(f(n_1,\dots ,n_m)).$
2. Якщо $f_1=\hat{O}(g_1)$ і $f_2=\hat{O}(g_2),$ то $f_1+f_2=\hat{O}(\max (g_1,g_2)).$
3. Якщо $g_1$ не спадає по всім аргументам і $g_1(n_1,\dots ,n_m)⩽g_2(n_1,\dots ,n_m)$ при $n_1⩾n_0,\dots ,n_m⩾n_0$ для деякого $n_0\in \mathbb{N},$ то з того, що $f=\hat{O}(g_1)$ випливає, що $f=\hat{O}(g_2).$
4. Якщо $g_1$ та $g_2$ не спадають по всім аргументам, то з того, що $f_1=\hat{O}(g_1)$ та $f_2=\hat{O}(g_2)$ випливає, що $f_1\cdot f_2=\hat{O}(g_1\cdot g_2).$

Див. також

• Таблиця математичних символів
• Основна теорема про рекурентні співідношення
• Обчислювальна складність

Література

• Шаблон:Дороговцев.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book