Циклотронна маса

Циклотронна маса — узагальнена маса (спільна для всього твердого тіла) носіїв струму при їх русі в магнітному полі. В загальному випадку ця маса не збігається з ефективною масою носіїв, оскільки поверхня Фермі може бути анізотропною, а ефективна маса є тензором. Циклотронну масу вимірюють за допомогою методу циклотронного резонансу або магнітотранспортних методів (ефект Шубникова — де Гааза). Знання циклотронної маси інколи допомагає визначити форму поверхні Фермі в твердому тілі.

Тривимірний випадок

Поверхня Фермі тривимірного кристала, наприклад кремнію, котрий є непрямозонним напівпровідником, складається з шести еліпсоїдів обертання в k-просторі. Розглянемо переріз поверхні Фермі площиною XZ такий, що в цій площині будуть знаходитися 4 витягнуті еліпси з центрами розташованими на осях на віддалі $k_0$. Нехай вектор магнітного поля $𝐁$ лежить в цій площині та створює кут $\theta$ з віссю Z. Анізотропний закон дисперсії для електронів має вигляд:

$\epsilon =\frac{{\hslash }^2}{2}(\frac{k_x^2+k_y^2}{m_t}+\frac{(k_z-k_0{)}^2}{m_l}),$

де введені дві різні ефективні маси $m_t$, $m_l$, які називаються відповідно повздовжною та поперечною ефективними масами. Рівняння руху частки (другий закон Ньютона) із зарядом «-e» в магнітному полі $𝐁$ при відсутності затухання

$\hslash \frac{d𝐤}{dt}=-e𝐯\times 𝐁,$

де $𝐤$ — хвильовий вектор, а швидкість частки $𝐯$ визначається виразом:

$𝐯=\frac{1}{\hslash }{\mathrm{\nabla }}_k\epsilon =(\frac{\hslash k_x}{m_t},\frac{\hslash k_y}{m_t},\frac{\hslash (k_z-k_0)}{m_l}).$

Тепер розглянемо покомпонентно закон руху:

$\hslash \frac{d{k}_x}{dt}=-\frac{e\hslash B{k}_y}{m_t}\cos \theta ,$

$\hslash \frac{d{k}_y}{dt}=\frac{e\hslash B{k}_x}{m_t}\cos \theta -\frac{e\hslash B(k_z-k_0)}{m_l}\sin \theta ,$

$\hslash \frac{d{k}_z}{dt}=\frac{e\hslash B{k}_y}{m_t}\sin \theta .$

Нас буде цікавити тільки розв'язки виду:

$k_x=k_1{e}^{i\omega t},k_y=k_2{e}^{i\omega t},k_z=k_0+k_3{e}^{i\omega t}.$

Цей розв'язок існує при певній частоті, котра називається циклотронною, котра залежить від кута:

${\omega }_c=eB{(\frac{{\sin }^2\theta }{m_l{m}_t}+\frac{{\cos }^2\theta }{m_t^2})}^{1/2}.$

Тут можна визначити циклотронну масу як

$m_c=|e|B/{\omega }_c.$

Видно, що при $\theta =0$, то $m_c=m_t$, а якщо $\theta =\pi /2$: $m_c=\sqrt{m_l{m}_t}$.

Загальний випадок тривимірного простору

В загальному випадку для довільної поверхні Фермі, наприклад в металах поверхня Фермі може приймати складну форму і тому необхідно використовувати наступну формулу для циклотронної частоти

${\omega }_c=\frac{2\pi |e|B}{{\hslash }^2}\frac{1}{(\partial S/\partial {\epsilon }_F)}$

та циклотронної маси:

$m_c=\frac{{\hslash }^2}{2\pi }\frac{\partial S}{\partial {\epsilon }_F},$ (1)

де $S({\epsilon }_F,k_H)$ — площа перетину  поверхні Фермі  площиною $k_H=const$, де $k_H$ — проєкція хвильового вектора електрону на напрямок магнітного поля, ${\epsilon }_F$ — енергія Фермі.

Випадок параболічної зони

Для найпростішої ізотропної параболічної зони енергію $\epsilon$ та площу перетину $S$ можна представити у вигляді наступних функцій :

$\epsilon =\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m^{*}}$,

$S({\epsilon }_F,k_H)=\pi k_{\mathrm{\perp }}^2=\pi (\frac{2m^{*}{\epsilon }_F}{{\hslash }^2}-k_H^2)$,

де $k_{\mathrm{\perp }}$- величина компоненти хвильового вектора, що перпендикулярна магнітному полю, $m^{*}$- ефективна маса. В цьому випадку похідна площини від енергії буде мати найпростіший вигляд :

$\frac{\partial S}{\partial {\epsilon }_F}=\frac{2\pi m^{*}}{{\hslash }^2}$.

Підставляючи отримані значення для похідної в формулу для циклотронної маси, знаходимо:

$m_c=\frac{{\hslash }^2}{2\pi }\cdot \frac{\partial S}{\partial {\epsilon }_F}=m^{*}$.

Таким чином, у випадку простої ізотропної параболічної зони ми будемо мати тотожність фізичних величин — «циклотронної маси» та «ефективної маси». Дана обставина і дозволяє в більшості випадків вимірювати ефективну масу носіїв у твердому тілі.

Циклотронна маса графену

Двовимірний закон дисперсії графену поблизу точок Дірака задається рівнянням

$\epsilon =\pm \hslash v_{F}k,$

де $\epsilon$ — енергія збудження, $v_F$ — швидкість Фермі, $k$ — абсолютна величина двовимірного хвильового вектора.

Розглянемо легований графен зі щільністю носіїв на одиницю площі, $n_s$ , при досить низькій температурі так, що електрони утворюють вироджене Фермі море. Тоді можна визначити «поверхню Фермі» (2D лінія — коло $\epsilon ={\epsilon }_F$). Після врахування спінових і долинних вироджень, відповідний хвильовий вектор Фермі $k_F$ дорівнює

$k_F=\frac{{\left(\pi n_s\right)}^{1/2}}{2\pi }$.

Тепер можна визначити «ефективну масу» $m^{*}$ звичайним способом (імпульс поділений на швидкість):

$m^{*}=\frac{\hslash k_F}{v_F}\sim n_s^{1/2}$.

Для того, щоб визначити циклотронну масу, у квазікласичному наближенні можна використати рівняння (1), в яке слід підставити, $S(\epsilon )$, площу $k$- простору, що оточена орбітою енергії ε

$S\left(\epsilon \right)=\pi k^2\left(\epsilon \right)=\frac{\pi {\epsilon }^2}{{\hslash }^2{v}_F^2}$,

звідки знаходимо, що $m_c=m^{*}$.

Енергетичний спектр 2D електронних систем у магнітному полі B, нормального до площини, є послідовність дискретних рівній Ландау. Використовуючи квазікласичне наближення квантування площі орбіти в оберненому просторі (квантування Бора-Зомерфельда),

$S\left({\epsilon }_N\right)=\pi k^2\left({\epsilon }_N\right)=\frac{2\pi \left|e\right|BN}{\hslash },N=0,\pm 1,...$ ,

ми знайдемо рівні Ландау в графені

${\epsilon }_N=\pm \sqrt{2\left|e\right|\hslash v_F^{2}B\left|N\right|}$. (2)

Якщо при ${\epsilon }_N={\epsilon }_F$ переписати рівняння (2), як ${\epsilon }_F=\hslash {\omega }_c^{\left(N\right)}\sqrt{\left|N\right|}$, то формула для «циклотронної частоти» має вигляд:

${\omega }_c^{\left(N\right)}=v_F\sqrt{\frac{2\left|e\right|B_N}{\hslash }}$,

де $B_N$- магнітне поле, що відповідає $N$-му рівню Ландау, що збігатися з рівнем Фермі.

Циклотронна швидкістьШаблон:Fact

Шаблон:Плутаний розділ В загальному випадку циклотрона швидкість записується в наступному вигляді:

$v_c={\omega }_c\cdot r_c=eB\cdot \frac{r_c}{m_c}$,

де у випадку традиційних тривимірних напівпровідників циклотронний радіус та маса визначаються як:

$r_c(Si)=\sqrt{2}{l}_B$, $m_c(Si)=const.$,

а у випадку двовимірного графена:

$r_c(Si)=\frac{l_B}{\sqrt{2}}$, $m_c(C)=variable$,

де $l_B=\sqrt{\frac{\hslash }{eB}}$- магнітна довжина. Таким чином, в звичайному тривимірному напівпровіднику, в якому виконується умова постійної ефективної маси, ми будемо мати змінне значення для циклотронної швидкості (наприклад, в КЕХ):

$v_c(Si)=\sqrt{2}{\omega }_c{l}_B=variable$.

Інша справа — двовимірний графен. Оскільки ефективна маса його носіїв змінюється, то його циклотрона швидкість завжди постійна:

$v_c(C)=\frac{{\omega }_c{l}_B}{\sqrt{2}}{v}_B=const.$

Використавши це, ми можемо через неї визначити і циклотронну частоту:

${\omega }_c(C)=\sqrt{2}\frac{v_B}{l_B}$

та циклотронну масу:

$m_c(C)=eB\cdot \frac{r_c(C)}{v_c(C)}=\frac{1}{v_B}\sqrt{\frac{eB\hslash }{2}}$.

Таким чином, за межами розгляду елементів зонної структури та циклотронної маси, лишилась постійна швидкість $v_B$. Звідки вона взялася, і який її масштаб?

Експериментальне обґрунтування постійності циклотронної швидкості в графені

Шаблон:Поза темою Найточніше значення постійної швидкості носіїв струму в графені було знайдено Діаконом та інш. в експериментах по відгуку фотопровідності на взірцях графена з декількома рівнями Ландау.

Це експериментальне значення швидкості для різних рівней Ландау знаходилося в діапазоні значень:

$v_{B.exp}=(1.069-1.118)\cdot 10^{6}m/s$.

Не важко помітити, що посередині цього діапазону знаходиться єдина фізична величина швидкості, яка називається борівською, оскільки визначає швидкість циклічного руху електрону на першій борівській орбіті атома Бора:

$v_B=\frac{\alpha c}{2}=1.0938453\cdot 10^{6}m/s$.

На сьогодні рівність цих швидкостей

$v_B=v_{B.exp}$

виконується з точністю до двох процентів:

$\mathrm{\Delta }=\pm 2.2\mathrm{\%}$.

Безумовно надалі точність зросте, проте на скільки, поки що не відомо.

Див. також

• Циклотронний резонанс

Посилання

• Физическая энциклопедия, т.5 — М.:Большая Российская Энциклопедия стр.429