B-сплайн

Шаблон:UniboxB-сплайн— сплайн-функція, що має мінімальний носій для заданого степеня, гладкості та області визначення.

Фундаментальна теорема стверджує, що довільна сплайн-функція заданого степеня, гладкості і області визначення може бути представлена як лінійна комбінація B-сплайнів того ж степеня і гладкості на тій же області визначення.

Термін B-сплайн запровадив Ісак Яков Шонберг у 1978 році і є скороченням від словосполучення «базисний сплайн». B-сплайни є узагальненням кривих Без'є, вони допомагають уникнути феномену Рунге при високих степенях полінома.

Визначення

B-сплайн степеня n з заданими вузлами:

$t_0\le t_1\le \cdots \le t_m$

та (m−n) контрольними точками

${𝐏}_0\dots {𝐏}_{m-n-1}$

це параметрична крива, що складена з базисних B-сплайнів степеня n

$𝐒(t)=\sum _{i=0}^{m-n-1}{𝐏}_i{b}_{i,n}(t),t\in [t_n,t_{m-n}].$

Базисні B-сплайни визначаються рекурсивними формулами:

$b_{j,0}(t):=1_{[t_j,t_{j+1})}=\{\begin{array}{cc}1,& t\in [t_j,t_{j+1})\\ 0,& t\notin [t_j,t_{j+1})\end{array}.$

$b_{j,n}(t):=\frac{t-t_j}{t_{j+n}-t_j}{b}_{j,n-1}(t)+\frac{t_{j+n+1}-t}{t_{j+n+1}-t_{j+1}}{b}_{j+1,n-1}(t)>0$ при $t\in [t_j,t_{j+n+1}).$

При однаковій відстані між сусідніми вузлами B-сплайни називаються однорідними, в протилежному випадку — неоднорідними.

Однорідні B-сплайни

Для однорідних B-сплайнів, базисні B-сплайни однакового степеня є зміщеними екземплярами однієї функції. Нерекурсивним визначенням базисних B-сплайнів є

$b_{j,n}(t)=b_n(t-t_j),j=\overline{0,m-n-1},$

де

$b_n(t):=\frac{n+1}{n}\sum _{i=0}^{n+1}{\omega }_{i,n}(t-t_i{)}_{+}^n,{\omega }_{i,n}:=\prod _{j=0,j\ne i}^{n+1}\frac{1}{t_j-t_i}.$

Кардинальні B-сплайни

Визначимо B₀ як індикаторну функцію відрізку $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$ і B_k рекурсивно через згортку

$B_k(t):=B_0(t)*B_{k-1}(t)=\underset{ℝ}{\int }{B}_0(t-\tau )B_{k-1}(\tau )d\tau =\underset{t-\frac{1}{2}}{\overset{t+\frac{1}{2}}{\int }}{B}_{k-1}(\tau )d\tau ,k\in \mathbb{N}$

B_k має носій $[-\frac{k+1}{2},\frac{k+1}{2}].$

Приклади

Константні B-сплайни

Це найпростіші сплайни. Вони не є навіть неперервними.

$b_{j,0}(t)=1_{[t_j,t_{j+1})}{B}_0(t)=1_{[-\frac{1}{2},\frac{1}{2})}.$

Лінійні B-сплайни

Лінійні B-сплайни є неперервними, але не диференційовними.

$b_{j,1}(t)=\{\begin{array}{cc}\frac{t-t_j}{t_{j+1}-t_j},& t\in [t_j,t_{j+1})\\ \frac{t_{j+2}-t}{t_{j+2}-t_{j+1}},& t\in [t_{j+1},t_{j+2})\end{array}{B}_1(t)=\{\begin{array}{cc}t+1,& t\in [-1,0)\\ 1-t,& t\in [0,+1)\end{array}$

Однорідні квадратичні B-сплайни

Є найбільш вживаною формою B-сплайнів.

$b_2(t)=b_{j,2}(t)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2}(t-t_j{)}^2,& t\in [t_j,t_{j+1})\\ -(t-t_{j+1}{)}^2+(t-t_{j+1})+\frac{1}{2},& t\in [t_{j+1},t_{j+2})\\ \frac{1}{2}(1-(t-t_{j+2}){)}^2,& t\in [t_{j+2},t_{j+3})\end{array}{B}_2(t)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2}(t+\frac{3}{2}{)}^2,& t\in [-\frac{3}{2},-\frac{1}{2})\\ \frac{3}{4}-t^2,& t\in [-\frac{1}{2},+\frac{1}{2})\\ \frac{1}{2}(t-\frac{3}{2}{)}^2,& t\in [\frac{1}{2},\frac{3}{2})\end{array}$

В матричній формі:

${𝐒}_i(t)=\left[\begin{array}{ccc}{t}^2& t& 1\end{array}\right]\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}1& -2& 1\\ -2& 2& 0\\ 1& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{𝐩}_{i-1}\\ {𝐩}_i\\ {𝐩}_{i+1}\end{array}\right],t\in [0,1],i=\overline{1,m-1}$

Однорідні кубічні B-сплайни

$b_3(t)=b_{j,3}(t)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{6}(t-t_j{)}^3,& t\in [t_j,t_{j+1})\\ \frac{1}{6}(-3(t-t_{j+1}{)}^3+3(t-t_{j+1}{)}^2+3(t-t_{j+1})+1),& t\in [t_{j+1},t_{j+2})\\ ...,& t\in [t_{j+2},t_{j+3})\\ \frac{1}{6}(1-(t-t_{j+3}){)}^3,& t\in [t_{j+3},t_{j+4})\end{array}$

$B_3(t)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{6}(t+2{)}^3,& t\in [-2,-1)\\ \frac{1}{6}(-3t^3-6t^2+4),& t\in [-1,0)\\ \frac{1}{6}(3t^3-6t^2+4),& t\in [0,1)\\ \frac{1}{6}(-t+2{)}^3,& t\in [1,2)\end{array}$

В матричній формі:

${𝐒}_i(t)=\left[\begin{array}{cccc}{t}^3& t^2& t& 1\end{array}\right]\frac{1}{6}\left[\begin{array}{cccc}-1& 3& -3& 1\\ 3& -6& 3& 0\\ -3& 0& 3& 0\\ 1& 4& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{𝐩}_{i-1}\\ {𝐩}_i\\ {𝐩}_{i+1}\\ {𝐩}_{i+2}\end{array}\right],t\in [0,1].$

Див. також

• Інтерполяція

Джерела

• Hovey, Chad (2022). Formulation and Python Implementation of Bézier and B-Spline Geometry. SAND2022-7702C. (153 pages)
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book

Посилання

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:Cite web