Рівняння Чепмена — Колмогорова

Еволюція функцій густини ймовірності в початковий момент часу $t_0$(дельта), кінцевий момент часу $t$ та в деякий проміжковий момент $t^{\prime }$.

Рівняння Чепмена-Колмогорова — рівняння, що пов'язує умовні ймовірності для марківського процесу в різні моменти часу.

Авторами рівняння є британський математик Шаблон:Не перекладено та радянський математик Андрій Колмогоров.

Формулювання

Нехай $P(z,t|z_0,t_0)$ — умовна функція густини ймовірності для марківського процесу $\xi (t)$ (тобто ймовірність знайти випадкову змінну в інтервалі $z\le \xi \le z+dz$ в момент часу $t$ за умови, що $\xi =z_0$ в момент часу $t_0$ дорівнює $P(z,t|z_0,t_0)dz$). Тоді рівняння Чепмена-Колмогорова

$P(z,t|z_0,t_0)=\int P(z,t|z^{\prime },t^{\prime })P(z^{\prime },t^{\prime }|z_0,t_0)d{z}^{\prime },t_0<t^{\prime }<t.$

пов'яже функції густини ймовірності в початковий момент часу $t_0$, кінцевий момент часу $t$ та в деякий проміжковий момент $t^{\prime }$.

Часто зустрічається запис рівняння Чепмена-Колмогорова через інтервали $\tau =t^{\prime }-t_0$ та $\sigma =t-t^{\prime }$. Тоді $P(z,t|z_0,t_0)=P(z|z_0,\sigma +\tau )$ і рівняння Чепмена-Колмогорова набуває вигляду

$P(z|z_0,\sigma +\tau )=\int P(z|z^{\prime },\sigma )P(z^{\prime }|z_0,\tau )d{z}^{\prime },\sigma ,\tau >0.$

Застосування

З рівняння Чепмена-Колмогорова отримується рівняння Фоккера-Планка.

Див. також

• Майстер-рівняння
• Марківський процес
• Рівняння Фоккера-Планка

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга